9. Déterminer une limite par comparaison

Introduction

Allez les amis, c'est parti ! On va apprendre comment lever des étapes d'une détermination quand on a \(-1^n\), \(\cos(n)\), \(\sin(n)\), \(\cos(n^2)\), \(\cos(3n)\), \(\cos(3n^2)\), peu importe, on y va. Moi, j'ai vraiment un réflexe que je voudrais que vous ayez en terminale, c'est que dès qu'on vous parle de limites et que vous avez \(\cos(n)\), \(\sin(n)\) ou \(-1^n\), votre point de départ ça va toujours être de dire que finalement, aussi bien \(\cos(n)\), \(\sin(n)\) que \(-1^n\), c'est compris entre -1 et 1.

Théorèmes de convergence, de comparaison et des gendarmes

Pour comprendre pourquoi on commence une limite en disant ça, on a besoin de deux théorèmes qui fonctionnent quasiment pareil : c'est le théorème de convergence et de comparaison des fonctions des suites et le théorème des gendarmes. Le théorème de convergence dit ceci : si on a une suite \(v_n\) qui tend vers \(+\infty\), si on a une suite \(u_n\) qui est au-dessus de cette suite, alors \(u_n\) aussi va tendre vers \(+\infty\). C'est valable aussi dans l'autre cas : si \(v_n\) décroît et qu'une suite \(u_n\) est en dessous, alors \(u_n\) tend vers \(-\infty\). Le théorème des gendarmes, lui, est légèrement différent. Si on a une suite \(u_n\) et une suite \(v_n\) qui tendent tous les deux vers la même limite, par exemple 3, et si on arrive à emprisonner une suite \(w_n\) entre les deux, alors on peut dire que la limite de \(w_n\) est aussi 3.

Application des théorèmes

Ces deux théorèmes ont en commun qu'on a une inégalité. Donc chaque fois que vous allez avoir un \(\cos(n)\), \(\sin(n)\) ou \(-1^n\), vous allez vous débrouiller pour faire apparaître une inégalité. On part de \(\cos(n)\) compris entre -1 et 1. Sauf que \(\cos(n)\) on s'en fout, nous ce qui nous intéresse c'est \(n^2 + \cos(n)\). On va construire progressivement notre suite en raisonnant par équivalence. On commence par ajouter \(n^2\) aux trois membres de l'inégalité, puis on divise tout par \(n+1\). On obtient alors \(-1 + \frac{n^2}{n+1} < \cos(n) + \frac{n^2}{n+1} < 1 + \frac{n^2}{n+1}\). Une fois qu'on a encadré notre suite par deux limites, on a deux options : soit ces limites sont un nombre, auquel cas on utilise le théorème des gendarmes, soit ces limites sont \(+\infty\) ou \(-\infty\), auquel cas on utilise le théorème de comparaison.

Conclusion

En conclusion, quand vous avez \(-1^n\), \(\cos(n)\) ou \(\sin(n)\), la première étape est d'écrire l'inégalité \(-1 \leq \cos(n) \leq 1\). Ensuite, on travaille pour transformer cette inégalité en une égalité où on aurait la suite dont on cherche la limite au milieu. Une fois que c'est fait, on calcule les limites des deux côtés. Si cette limite est \(+\infty\) ou \(-\infty\), on utilise le théorème de comparaison. Si cette limite est un nombre, on utilise le théorème des gendarmes. Dans le cas où c'est un théorème de comparaison, on va se demander quel bout de l'inégalité on va garder. On ne va pas garder l'intégralité de l'inégalité, on va regarder que le bout qui nous intéresse. Entraînez-vous, la prochaine vidéo c'est exactement la même sauf que cette fois-ci on va bosser sur le théorème des gendarmes. À vous de jouer !