Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale Spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser deux chapitres fondamentaux du programme : l'étude des suites numériques et la géométrie vectorielle dans l'espace. D'une durée de 2 heures, ce devoir couvre un large spectre de compétences, allant du calcul de limites à la manipulation de vecteurs en 3D. Découvrez l'analyse détaillée de ce contrôle corrigé, exercice par exercice.

Exercice 1 : Étude d'une suite avec racine carrée (2 points)

Cet exercice introductif porte sur une suite simple définie explicitement pour tout entier naturel \( n \) par \( u_n = 3\sqrt{n} - 2 \). Il s'agit d'une application directe des définitions du cours sur les limites de suites.

• Question 1 : On demande de trouver le premier rang \( n \) à partir duquel le terme de la suite \( u_n \) dépasse 1000. Cela revient à résoudre l'inéquation \( 3\sqrt{n} - 2 > 1000 \). Une bonne maîtrise des inéquations avec racines carrées est nécessaire.
• Question 2 : Cette question généralise la première en demandant de montrer que pour tout réel positif \( A \), il existe un rang à partir duquel \( u_n > A \). C'est une démonstration formelle de la divergence de la suite vers \( +\infty \), en appliquant la définition d'une limite infinie.
• Question 3 : Il s'agit de conclure sur le comportement de la suite \( (u_n) \). La réponse, découlant directement de la question précédente, est que la suite tend vers \( +\infty \).

Exercice 2 : Limites de suites et propriétés (3,5 points)

Cet exercice teste la maîtrise des opérations sur les limites et des théorèmes associés, ainsi que la connaissance des propriétés de convergence.

La première partie est un QCM de calcul de limites pour trois suites différentes :

• a) \( u_n = \frac{2}{\sqrt{n}} - 3n \) : Il faut utiliser la limite d'une somme de suites. On a \( \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0 \) et \( \lim_{n \to +\infty} -3n = -\infty \), donc la suite diverge vers \( -\infty \).
• b) \( u_n = \frac{1}{n}(\sqrt{n} - 4) \) : En développant, on obtient \( u_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{4}{n} \). Par somme de limites, la suite converge vers 0.
• c) \( u_n = \frac{4n^3 + n}{3n^3 - 1} \) : Il s'agit d'une forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \). La méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré (\( n^3 \)) pour lever l'indétermination. La limite est le quotient des coefficients de plus haut degré, soit \( \frac{4}{3} \).

La deuxième partie consiste en deux affirmations Vrai/Faux à justifier :

• Affirmation 1 : "Si \( (u_n) \) et \( (v_n) \) convergent, alors \( (u_n + v_n) \) converge." C'est une propriété fondamentale du cours, donc VRAI.
• Affirmation 2 : "Si \( (u_n + v_n) \) converge, alors \( (u_n) \) et \( (v_n) \) convergent." C'est FAUX. Il faut trouver un contre-exemple, comme \( u_n = n \) et \( v_n = -n \). La somme \( u_n + v_n = 0 \) converge, mais les deux suites divergent.

Exercice 3 : Étude d'une suite homographique et suite auxiliaire (7,5 points)

Cet exercice complet et classique est un excellent entraînement pour le bac. Il porte sur une suite récurrente homographique définie par \( v_0 = 1 \) et \( v_{n+1} = \frac{16}{8 - v_n} \).

• Question 1.a : Il faut démontrer par récurrence que la suite est bornée, c'est-à-dire que pour tout \( n \), \( 0 < v_n < 4 \). C'est une application standard du raisonnement par récurrence sur une inégalité.
• Question 1.b & 1.c : On étudie la monotonie de la suite. Il faut d'abord prouver l'égalité \( v_{n+1} - v_n = \frac{(4 - v_n)^2}{8 - v_n} \), puis utiliser le résultat de la question 1.a pour déterminer le signe de cette différence et conclure que la suite est croissante.
• Question 2 : L'énoncé introduit une suite auxiliaire \( w_n = \frac{1}{v_n - 4} \) pour "linéariser" la relation de récurrence.
  • On doit d'abord prouver que \( (w_n) \) est une suite arithmétique, en calculant \( w_{n+1} - w_n \) et en montrant que cette différence est constante. On en déduit sa raison et son premier terme.
  • Ensuite, on utilise l'expression explicite de la suite arithmétique \( (w_n) \) pour en déduire celle de \( (v_n) \) en fonction de \( n \).
  • Finalement, on calcule la limite de \( (v_n) \) en utilisant cette expression explicite.
• Question 3 : Cette question porte sur l'algorithmique. Il faut compléter un script Python qui détermine le rang à partir duquel la suite s'approche de sa limite à une précision \( 10^{-p} \) donnée.

Exercice 4 : Géométrie vectorielle dans l'espace (7 points)

Ce dernier exercice est consacré à la géométrie dans l'espace, sans utilisation de repère, en s'appuyant uniquement sur le calcul vectoriel.

Partie A : Dans un cube

Dans le cube ABCDEFGH, on définit des points R, S, T par des relations vectorielles simples. Les questions portent sur les positions relatives de points, droites et plans.

• Question 1 : On doit démontrer que les points E, T et U sont alignés. La méthode consiste à exprimer les vecteurs \( \vec{ET} \) et \( \vec{EU} \) en fonction des arêtes du cube (par exemple \( \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE} \)) et à montrer qu'ils sont colinéaires.
• Question 2 : Il faut justifier l'existence d'un point d'intersection P entre les droites (RS) et (EH) (coplanaires et non parallèles), puis déterminer la droite d'intersection des plans (RST) et (EFG). Cette droite est définie par deux points communs aux deux plans : T et P.

Partie B : Dans un tétraèdre

On travaille ici dans un tétraèdre ABCD avec plusieurs points définis par des relations vectorielles.

• Question 2 : On demande la nature de deux quadrilatères. Pour MCEF, il faut utiliser la relation de Chasles pour comparer \( \vec{MC} \) et \( \vec{EF} \) et conclure, par exemple, à un parallélogramme.
• Question 3 : Il s'agit d'établir une égalité vectorielle complexe : \( 2\vec{DN} - 3\vec{DF} = \vec{CE} \). C'est un exercice de calcul vectoriel pur, où la relation de Chasles est l'outil principal pour décomposer chaque vecteur jusqu'à obtenir l'égalité.
• Question 4 : La dernière question est une question de déduction. L'égalité précédente montre que le vecteur \( \vec{CE} \) est une combinaison linéaire des vecteurs \( \vec{DN} \) et \( \vec{DF} \). Ces deux derniers dirigeant le plan (DNF), on en conclut que la droite (CE) est parallèle au plan (DNF).