Analyse et Corrigé du Contrôle de Mathématiques (Sujet 35) - Niveau Terminale Spécialité

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale Spécialité mathématiques est un excellent entraînement pour le baccalauréat. Il aborde en profondeur trois chapitres essentiels du programme : les suites numériques, les limites de fonctions, et la géométrie dans l'espace. Chaque exercice est conçu pour tester des compétences spécifiques et la capacité à raisonner de manière structurée. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution des problèmes.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Limites de Suites et de Fonctions

Cet exercice évalue la capacité à analyser rapidement des affirmations et à fournir une justification rigoureuse. Il est divisé en trois questions indépendantes :

• Affirmation 1 : Étude de la limite d'une suite définie par récurrence, \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = u_n^2 + n \). Il s'agit de déterminer si la suite peut converger vers 0. L'analyse du sens de variation de la suite est ici la clé pour invalider l'affirmation.
• Affirmation 2 : Calcul de la limite \( \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{e^x + x} \). Cette question teste la gestion des formes indéterminées de type \( \frac{\infty}{\infty} \). La méthode consiste à factoriser par le terme dominant (ici \(e^x\)) et à utiliser les résultats de croissances comparées pour conclure.
• Affirmation 3 : Calcul d'une limite de fonction rationnelle en un point où le dénominateur s'annule : \( \lim_{x\to -\frac{1}{2}^-} \frac{-2}{-2x^2 + x + 1} \). Il est nécessaire d'étudier le signe du polynôme du second degré au dénominateur pour déterminer si la limite est \(+\infty\) ou \(-\infty\).

Exercice 2 : Étude Complète d'une Fonction avec Exponentielle

Cet exercice se concentre sur l'analyse de la fonction \( f(x) = (4x-2)e^{-x+1} \) sur l'intervalle \( [0; +\infty[ \).

• Question 1 : Dresser le tableau de variations de \(f\). Cette tâche classique requiert plusieurs étapes : le calcul de la dérivée \(f'(x)\) en utilisant la formule de dérivation d'un produit, l'étude du signe de cette dérivée, et enfin le calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition. La limite en \(+\infty\) fait de nouveau appel aux théorèmes de croissances comparées.
• Question 2 : Déterminer les éventuelles asymptotes à la courbe de \(f\). Le calcul de la limite en \(+\infty\) permet de mettre en évidence une asymptote horizontale.

Exercice 3 : Géométrie Vectorielle dans le Cube

Cet exercice aborde la géométrie dans l'espace à travers la manipulation de vecteurs dans un cube ABCDEFGH. Un point M est défini par la relation vectorielle \( \vec{HM} = 3\vec{HE} + \vec{BA} + \vec{CE} \).

• Question 1 : L'objectif est d'exprimer le vecteur \( \vec{CM} \) en fonction des vecteurs \( \vec{CG} \) et \( \vec{CB} \). La résolution passe par une utilisation judicieuse de la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs et les réarranger, en s'appuyant sur les propriétés géométriques du cube (parallélisme, égalité de vecteurs).
• Question 2 : La conclusion sur la position des points M, C, G et B découle directement du résultat précédent. Si \( \vec{CM} \) est une combinaison linéaire de \( \vec{CG} \) et \( \vec{CB} \), cela signifie que les quatre points sont coplanaires.

Exercice 4 : Problème d'Identification de Fonction

Un exercice de synthèse où il faut déterminer l'expression complète d'une fonction \( f(x) = \frac{ax+b}{x-c} + \frac{d}{x+1} \) en utilisant quatre informations distinctes. C'est un excellent moyen de vérifier la compréhension globale de l'analyse de fonction.

1. La limite de \(f\) en \(+\infty\) est 2, ce qui permet de trouver \(a\).
2. L'image de 0 est 0 (\(f(0)=0\)), ce qui fournit une première équation liant les paramètres.
3. L'existence d'une asymptote verticale en \(x=1\) permet de déterminer la valeur de \(c\).
4. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 est -1 (\(f'(2)=-1\)). Il faut donc dériver la fonction et résoudre une dernière équation pour trouver les inconnues restantes.

Exercice 5 : Étude Approfondie d'une Suite Arithmético-Géométrique

L'exercice le plus complet du sujet, qui porte sur l'étude d'une suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 3 \) et par la relation de récurrence \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{2}n + 1 \).

• Suite auxiliaire : Pour étudier cette suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique, on introduit une suite auxiliaire \( v_n = u_n - n \). Il faut alors prouver que \((v_n)\) est une suite géométrique, en déterminer la raison et le premier terme.
• Forme explicite et limite : Une fois l'expression explicite de \(v_n\) trouvée, on en déduit celle de \(u_n\) en fonction de \(n\), ce qui permet de calculer facilement sa limite.
• Raisonnement par récurrence : Une question dédiée à la démonstration par récurrence de la formule de la somme des \(n\) premiers entiers, un classique à maîtriser parfaitement.
• Somme et limite : La dernière partie demande de calculer la somme \( S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \) en combinant la formule de la somme d'une suite géométrique et celle de la somme des entiers. Enfin, il faut déterminer la limite de la suite \( w_n = \frac{S_n}{n^2} \), un calcul qui mobilise les techniques de limites de suites.