Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale spécialité mathématiques est une évaluation complète portant sur plusieurs chapitres clés du programme : le dénombrement, les suites numériques (notamment le raisonnement par récurrence et les suites arithmético-géométriques), l'étude de fonctions avec l'exponentielle, et les probabilités conditionnelles. D'une durée de 2 heures, ce sujet, avec calculatrice autorisée, est un excellent entraînement pour le baccalauréat.

Ce document propose une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les compétences à maîtriser. C'est une ressource idéale pour les élèves souhaitant réviser et s'auto-évaluer sur ces notions fondamentales.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur le Dénombrement et l'Exponentielle (4 points)

Cet exercice teste la maîtrise des bases du dénombrement et des propriétés de la fonction exponentielle à travers quatre affirmations à justifier. Il faut non seulement donner la bonne réponse (vrai ou faux), mais aussi fournir une preuve rigoureuse.

• Affirmation 1 : Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on former ? Il s'agit d'un problème de p-listes (ou k-uplets). On doit déterminer si le nombre total est bien \(10^4\). Cette question fait appel au principe multiplicatif.
• Affirmation 2 : Dénombrer les codes PIN à chiffres tous distincts avec une contrainte de position (un "1" en troisième position). Cette question est plus complexe et demande de combiner le principe multiplicatif avec la notion d'arrangements sans répétition. Il faut bien décomposer le problème pour compter les possibilités pour chaque chiffre.
• Affirmation 3 : Un problème de coloriage de cases. Avec 4 cases et 5 couleurs, on doit calculer le nombre de coloriages possibles. Il est crucial de se demander si les couleurs peuvent être réutilisées ou non, et de modéliser correctement la situation.
• Affirmation 4 : Une inéquation avec la fonction exponentielle, \(e^{2x+1} \ge 1\). Pour la résoudre, il faut utiliser la croissance de la fonction logarithme népérien ou se souvenir que \(e^A \ge e^B \iff A \ge B\). La validité de l'affirmation pour tout réel x doit être vérifiée.

Exercice 2 : Équation Exponentielle et Étude d'une Suite (3 points)

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes mais complémentaires sur les thèmes des fonctions et des suites.

• Partie A : Résolution d'une équation de la forme \(e^A = e^B\), qui se ramène à une équation du second degré \(x^2+1 = 2x+5\). Un classique qui lie deux chapitres.
• Partie B : Étude d'une suite arithmético-géométrique \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1} = 0,75 u_n + 2\).
  1. La première question est une démonstration par récurrence. Il faut prouver que la suite est majorée par 8, c'est-à-dire que pour tout entier \(n\), \(u_n \le 8\). La rédaction de l'initialisation, de l'hérédité et de la conclusion doit être impeccable.
  2. La deuxième question demande d'en déduire le sens de variation de la suite. On étudiera le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\) en utilisant la majoration prouvée précédemment.

Exercice 3 : Étude de Fonction Complète (5 points)

Cet exercice est un problème d'analyse classique autour d'une fonction modélisant la croissance d'un arbuste : \(f(t) = \frac{120 e^t}{e^t + 3}\) sur l'intervalle \([0; 12]\).

• Question 1 : Calcul d'image simple pour interpréter la hauteur initiale de l'arbuste.
• Question 2 : Calcul de la dérivée \(f'(t)\). Il faut ici appliquer la formule de dérivation d'un quotient \((\frac{u}{v})'\) avec des fonctions exponentielles.
• Question 3 & 4 : Étude du signe de la dérivée et construction du tableau de variations complet de la fonction \(f\). La positivité de la fonction exponentielle simplifie l'étude de signe.
• Question 5 : Détermination de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, en utilisant la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
• Question 6 : Résolution d'une inéquation \(f(t) > 100\) à l'aide de la calculatrice. Cette question ancre le problème dans son contexte et évalue la capacité à utiliser les outils numériques pour résoudre un problème concret.

Exercice 4 : Dénombrement avec des Ensembles (3 points)

Cet exercice aborde le dénombrement en utilisant la théorie des ensembles et les diagrammes de Venn. Il s'agit de manipuler les cardinaux d'unions et d'intersections d'ensembles.

• Partie 1 : On utilise un diagramme de Venn à trois ensembles (Scrabble, bridge, yams) pour organiser les informations et répondre à des questions sur le nombre de participants à un, deux ou trois jeux. La méthode consiste à remplir le diagramme en partant de l'intersection centrale.
• Partie 2 : Un problème similaire avec deux ensembles (escalade, équitation). On utilise le principe d'inclusion-exclusion (formule de Poincaré) pour trouver le cardinal de l'intersection des deux ensembles : \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\).

Exercice 5 : Probabilités Conditionnelles et Suites (5 points)

Ce dernier exercice est un problème complet qui mélange probabilités conditionnelles, suites et algorithmique. Il modélise le comportement d'un joueur sur une plateforme de jeux vidéo.

• Question 1 & 2 : Utilisation d'un arbre de probabilités pour modéliser la situation. On calcule une probabilité en utilisant la formule des probabilités totales : \(P(A_{n+1}) = P(A_{n+1} \cap A_n) + P(A_{n+1} \cap B_n)\).
• Question 3 : Établissement d'une relation de récurrence entre \(a_{n+1} = P(A_{n+1})\) et \(a_n = P(A_n)\). On démontre ainsi que la suite des probabilités \((a_n)\) est une suite arithmético-géométrique.
• Question 4 : Une nouvelle démonstration par récurrence pour valider une forme explicite de la suite \(a_n\).
• Question 5 : Analyse d'un algorithme en Python qui détermine le rang à partir duquel la suite dépasse un certain seuil. Il faut comprendre la boucle "while" et interpréter le résultat renvoyé par la fonction.
• Question 6 : Une question d'interprétation qui demande de calculer la limite de la suite \((a_n)\) pour en déduire un comportement à long terme.

En conclusion, ce contrôle corrigé est un excellent outil pour les élèves de Terminale souhaitant approfondir leur compréhension des suites, du dénombrement, des probabilités et de l'étude de fonctions. Il prépare efficacement aux exigences du baccalauréat de spécialité mathématiques.