Découvrez un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité, idéal pour réviser et maîtriser deux chapitres fondamentaux du programme : les limites de fonctions et la loi binomiale. Ce sujet complet, d'une durée d'une heure, avec calculatrice autorisée, est un excellent entraînement pour le baccalauréat. Il balaye des compétences essentielles, de l'analyse de fonctions à la modélisation de situations probabilistes.

Ce document vous propose une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les méthodes de résolution et les savoir-faire attendus. Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale spécialité, limites, loi binomiale, théorème des gendarmes, espérance, intervalle de fluctuation, bac blanc.

Exercice 1 : Maîtrise des Limites de Fonctions (6 points)

Cet exercice se concentre sur le calcul de limites en l'infini pour différentes formes de fonctions, testant votre capacité à identifier et lever les formes indéterminées en utilisant les théorèmes appropriés.

• Question 1 : Limite avec sinus et exponentielle.

  Il est demandé de déterminer la limite de la fonction \( f(x) = \frac{2\sin(x)}{e^x} \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \). Cette question est une application directe du théorème des gendarmes. La clé est de reconnaître que la fonction sinus est bornée, \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \), ce qui nous permet d'encadrer \( f(x) \) par deux fonctions dont la limite est 0 en \( +\infty \). Un classique à maîtriser absolument.

• Question 2 : Limite d'une fonction composée avec racine carrée.

  Ici, on étudie la fonction \( g(x) = \sqrt{\frac{4x^2+7}{x^2+1}} \) en \( -\infty \). La résolution passe par deux étapes : d'abord, lever la forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \) du quotient sous la racine en factorisant par le terme de plus haut degré. On trouve que \( \lim_{x \to -\infty} \frac{4x^2+7}{x^2+1} = 4 \). Ensuite, on applique le théorème de composition des limites avec la fonction racine carrée, qui est continue, pour conclure que la limite de \( g(x) \) est \( \sqrt{4} = 2 \).

• Question 3 : Limite avec cosinus et comparaison.

  La dernière question porte sur la fonction \( h(x) = 4x - x\cos(x) \) en \( +\infty \). C'est une forme indéterminée du type \( \infty - \infty \). La stratégie consiste à factoriser par \( x \) pour obtenir \( h(x) = x(4-\cos(x)) \). Comme pour la première question, on utilise le fait que \( \cos(x) \) est borné, ce qui permet de minorer l'expression \( (4-\cos(x)) \) par une constante positive (ici, 3). Le théorème de comparaison permet alors de conclure que la limite est \( +\infty \).

Exercice 2 : Application Approfondie de la Loi Binomiale (9 points)

Cet exercice très complet aborde la loi binomiale dans le contexte d'une enquête de notoriété. Il évalue la capacité à modéliser une situation, à calculer des probabilités, à interpréter des indicateurs et à utiliser un intervalle de fluctuation pour la prise de décision.

• Question 1 : Justification de la loi de probabilité.

  On demande de déterminer la loi de la variable aléatoire \( X \) qui compte le nombre de succès. Il faut ici justifier l'utilisation d'une loi binomiale en vérifiant ses conditions d'application : la répétition de \( n=500 \) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès \( p=0.25 \) constante. Donc, \( X \sim \mathcal{B}(500, 0.25) \).

• Question 2 : Calcul de probabilités.

  Cette question demande d'utiliser la calculatrice pour trouver des probabilités spécifiques : \( P(X=120) \), \( P(X \leq 130) \) (probabilité cumulée) et \( P(X \geq 135) \). C'est l'occasion de s'assurer de bien connaître les fonctionnalités de sa calculatrice pour la loi binomiale (BinomFdp, BinomFRép).

• Question 3 : Calcul et interprétation de l'espérance.

  Le calcul de l'espérance est direct avec la formule \( E(X) = np = 500 \times 0.25 = 125 \). L'enjeu est surtout dans l'interprétation : en moyenne, sur un grand nombre d'enquêtes similaires, on s'attend à ce que 125 jeunes connaissent la radio SKYMATH.

• Question 4 : Intervalle de fluctuation et prise de décision.

  C'est la partie la plus technique. On construit un intervalle de fluctuation à 90%. On doit trouver les entiers \( a \) et \( b \) à l'aide de la fonction de répartition inverse de la calculatrice. Cet intervalle \( I \) représente la plage de valeurs "normales" pour le nombre de succès. La dernière question consiste à confronter un résultat d'enquête réel (148 succès) à cet intervalle. Si la valeur observée est en dehors de l'intervalle, on peut remettre en question l'hypothèse de départ \( p=0.25 \), avec un risque d'erreur contrôlé.

Exercice 3 : Problème Concret de Loi Binomiale (5 points)

Ce dernier exercice, plus court, ancre la loi binomiale dans un problème de gestion d'événementiel (surbooking), un cas d'usage classique.

• Question 1 : Modélisation.

  Comme pour l'exercice 2, il faut commencer par identifier la loi de probabilité de \( X \), le nombre de personnes présentes au concert. Il s'agit d'une loi binomiale de paramètres \( n=250 \) (le nombre de billets vendus) et \( p=0.9 \) (la probabilité qu'une personne se présente).

• Question 2 : Calcul d'un risque.

  On évalue le risque que la salle de 230 places soit insuffisante. Cela se traduit par le calcul de la probabilité \( P(X > 230) \), qui est égale à \( 1 - P(X \leq 230) \). C'est un calcul direct à la calculatrice.

• Question 3 : Optimisation du nombre de places.

  Cette question inverse le problème. On fixe un seuil de risque acceptable (2%) et on cherche la capacité minimale \( k \) de la salle. Il faut donc trouver le plus petit entier \( k \) tel que la probabilité de décevoir des gens, \( P(X > k) \), soit inférieure ou égale à 0.02. Cela revient à chercher \( k \) tel que \( P(X \leq k) \geq 0.98 \). Cette compétence est essentielle pour les problèmes d'optimisation basés sur des probabilités.