9. Lever une indétermination : factorisation par le plus puissant

Introduction

Allez les amis, on va voir la technique infaillible pour lever les indéterminations de type plus infini sur plus infini quand on a des quotients. On s'y met tout de suite.

Explication de la technique

On vous demande de calculer une petite limite. Vous commencez à faire votre calcul, toujours au brouillon, et vous vous retrouvez avec une forme indéterminée plus l'infini sur plus l'infini. Je vous rappelle que les quatre formes indéterminées à déterminer sont \(0/0\), \(\infty/\infty\), \(0 \times \infty\) et \(\infty - \infty\). Donc \(\infty/\infty\) est bien une des quatre formes indéterminées. Du coup, je ne peux pas a priori régler le problème. Comment va-t-on faire pour les cas \(\infty/\infty\) ? C'est toujours la même technique. C'est là qu'on utilise la technique qui consiste à factoriser par le terme le plus puissant en haut et en bas. Donc ce que vous faites, c'est que avant de commencer à faire votre rédaction de calcul, vous allez d'abord transformer l'expression de la limite.

Application de la technique

Vous dites que c'est la même chose que la limite quand \(x\) tend vers l'infini de votre expression transformée. Comment va-t-on la transformer ? On va factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme le plus puissant à chaque fois. Donc le terme le plus puissant ici en haut est \(x^2\), donc je sais qu'en haut ça va être \(x^2\) facteur de quelque chose, et en bas le terme le plus puissant c'est \(x\), \(x\) facteur de quelque chose. Je vois que ici j'ai un plus, donc je vais avoir un plus. Ici j'ai un moins, donc va avoir un moins. Le \(x^2\) est multiplié par 3, donc je vais avoir un 3. Le \(x\) est multiplié par 1, donc je vais avoir à 1. Et là vous vous dites mais qu'est-ce que je mets ici et ici parce que pour factoriser par \(x^2\) il aurait fallu qu'on ait du \(x^2\) ici aussi. Sinon on ne peut pas factoriser. Eh bien regardez l'astuce, le \(x\) qu'on rêve, vous allez le faire apparaître. Donc vous allez dire je mets un \(x\) ici et pour pas que ça pose des problèmes, je vais l'enlever là. Et pour le \(2\), besoin d'un \(x\), pas grave, je multiplie par \(x\) mais je divise par \(x\). Du coup mon \(x^2\) ici est multiplié par 3, il y a un plus, et maintenant mon deuxième \(x\) paraît, il est en fait \(x \times 1/x\). Donc là j'ai \(1/x^2\) et là j'ai \(2/x\) parce que mon \(x\) est \(x \times 2/x\). Très bien, maintenant que j'ai ça, je simplifie. Donc je vais avoir la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(x^2 \times (3 + 1/x^2) / (1 - 2/x)\). Et maintenant je réfléchis, \(1/x^2\) en plus infini ça tend vers 0, \(2/x\) en plus infini ça tend vers 0, \(3\) ça tend vers \(3\), \(1\) ça tend vers \(1\), \(x\) ça tend vers plus infini. Donc je vais me retrouver avec plus l'infini fois \(3 + 0\) sur \(1 - 0\), soit \(\infty \times 3\) sur \(1\), et j'ai plus de formes indéterminées. Donc vous voyez que le fait de factoriser en haut et en bas par le terme de plus haut degré, de plus grande puissance, et d'ensuite de simplifier, parce qu'on va oublier de simplifier, si vous ne simplifiez pas ça sert à rien. Une fois que vous avez simplifié, vous vous retrouvez avec des nombres ici et un \(x\) ici qui vous règle la limite. On recommence ici, \(x^2 - 1/x^2\). Donc je fais mes limites, en gros ça fait plus infini, en bas ça fait plus infini, c'est bien une forme indéterminée. Je vais la régler en factorisant par le terme le plus fort. Donc je dis que c'est la même chose que la limite quand \(x\) tend vers \(-\infty\) de \(x^2\) facteur de quelque chose. Et là il y a un moins, là il y a un plus, là ça va être un rien facile. Là j'ai pas de \(x^2\), je le fais apparaître donc je fais \(x \times x^2\) parce que je factorise par \(x^2\), mais je vais diviser ici par \(x^2\). Et pareil ici, \(x^2 / x^2\), et je me retrouve avec \(x^2 - 1/x^2\) sur \(1 + 1/x^2\). Je peux simplifier ça et ça, et ça me fait la limite quand \(x\) tend vers \(-\infty\) de \(1 - 1/x^2\) sur \(1 + 1/x^2\). Et là regardez comme c'est joli, quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(x^2\) tend vers plus l'infini, \(1/x^2\) tend vers 0. Donc ça fait \(1 - 0\) sur \(1 + 0\), soit \(1\) sur \(1\), ça me fait \(1\), et j'ai ma limite. Dès que vous avez du plus infini sur plus infini, c'est toujours factoriser par le terme de plus haut degré en haut et en bas, simplifier, refaire le calcul de limite, ça passe comme une lettre à la poste. Il y a des exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.