Découvrez un sujet de contrôle complet sur le raisonnement par récurrence, spécialement conçu pour les élèves de Terminale spécialité mathématiques. Ce document PDF d'une heure couvre l'ensemble des compétences clés de ce chapitre fondamental à travers trois exercices variés : un questionnaire à choix multiples (QCM) pour tester la compréhension théorique, une étude de suite arithmético-géométrique pour appliquer la méthode, et une démonstration d'égalité pour les plus aguerris.

Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour le baccalauréat. Il permet de s'entraîner à la rédaction rigoureuse exigée pour le raisonnement par récurrence et de maîtriser les différents types de démonstrations : inégalités, variations de suites, formules explicites et égalités complexes.

Exercice 1 : Questionnaire à Choix Multiples (QCM)

Ce premier exercice est un QCM qui vise à évaluer la compréhension fine des mécanismes et de la logique du raisonnement par récurrence. Il se compose de quatre questions indépendantes.

• Question 1 : Cette question teste la capacité à formuler l'hypothèse au rang \(n+1\). En supposant la propriété \(P(n) : "5^n \ge 4^n + 3^n"\) vraie pour un entier \(n \ge 2\), il faut identifier l'expression correcte de \(P(n+1)\). C'est une étape cruciale de l'hérédité qui consiste à savoir ce que l'on doit démontrer. La bonne réponse est bien sûr \(P(n+1) : "5^{n+1} \ge 4^{n+1} + 3^{n+1}"\).
• Question 2 : Ici, on évalue la compréhension de la portée du principe de récurrence. Si une propriété est initialisée à \(n=3\) et que l'hérédité n'est prouvée qu'à partir du rang \(n=6\), on ne peut rien conclure pour les entiers entre 3 et 6. C'est un point de logique essentiel : la chaîne de déduction doit être ininterrompue.
• Question 3 : Cette question porte sur l'initialisation, la première étape du raisonnement. Pour la propriété \(P(n) : "n^2 + 3\) est un multiple de 3", il faut vérifier si elle est vraie pour les premiers rangs. On teste pour \(n=0\) (\(0^2+3=3\), qui est bien un multiple de 3) et pour \(n=1\) (\(1^2+3=4\), qui n'est pas un multiple de 3). L'initialisation est donc vérifiée pour \(n=0\).
• Question 4 : Cette dernière question du QCM est une application directe de l'étape d'hérédité. On considère une suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 2\). En supposant vraie la propriété \(P(k) : "u_k = 2 \times 3^k - 1"\), on doit vérifier si \(P(k+1)\) est également vraie. Cela demande de calculer \(u_{k+1}\) en utilisant la relation de récurrence et l'hypothèse \(P(k)\), puis de comparer le résultat à la forme attendue de \(P(k+1)\).

Exercice 2 : Étude d'une suite par récurrence

Cet exercice est un grand classique sur les suites et la récurrence. On étudie la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 8\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = 0,2u_n + 4\). L'objectif est de démontrer plusieurs de ses propriétés.

• Question 1 : Démontrer un encadrement. Il est demandé de montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a \(5 < u_n \le 8\). Cette démonstration se fait en deux temps :
  • Initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour \(n=0\). On a \(u_0=8\), donc \(5 < 8 \le 8\) est vrai.
  • Hérédité : On suppose que \(5 < u_k \le 8\) pour un certain \(k \ge 0\) et on démontre que \(5 < u_{k+1} \le 8\). Pour cela, on part de l'encadrement de \(u_k\) et on applique les opérations définissant \(u_{k+1}\).
• Question 2 : Démontrer le sens de variation. Il faut montrer par récurrence que la suite \((u_n)\) est décroissante. Cela revient à prouver que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \le u_n\). L'initialisation consiste à vérifier que \(u_1 \le u_0\), et l'hérédité utilise l'hypothèse \(u_{k+1} \le u_k\) pour montrer que \(u_{k+2} \le u_{k+1}\).
• Question 3 : Démontrer la forme explicite. Cette question demande de prouver par récurrence que l'expression explicite de la suite est \(u_n = 3(0,2)^n + 5\). C'est l'application la plus directe pour lier une forme récurrente à une forme explicite. On procède là encore par initialisation et hérédité. La dernière partie de la question aborde l'algorithmique en demandant d'écrire une fonction en Python pour calculer un terme de la suite.

Exercice 3 : Démonstration d'une égalité

Le dernier exercice est une démonstration par récurrence plus technique. Il faut prouver que pour tout entier naturel \(n \ge 2\), l'égalité suivante est vraie :$$ \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) \times \left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \times \dots \times \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} $$La démonstration suit la structure classique :

• Initialisation : On vérifie la formule pour le premier rang, ici \(n=2\). Le membre de gauche vaut \(1 - \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4}\). Le membre de droite vaut \(\frac{2+1}{2 \times 2} = \frac{3}{4}\). L'égalité est donc vraie.
• Hérédité : On suppose la formule vraie pour un entier \(k \ge 2\). On cherche alors à la démontrer pour le rang \(k+1\). On part du produit jusqu'au rang \(k+1\) et on utilise l'hypothèse de récurrence pour simplifier le produit jusqu'au rang \(k\), avant de conclure par quelques calculs algébriques. Cet exercice est un excellent test de la maîtrise des calculs et de la logique de l'hérédité sur des expressions complexes.