Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale spécialité est un sujet complet de 2 heures, idéal pour s'entraîner aux épreuves du baccalauréat. Il couvre plusieurs chapitres majeurs du programme : la loi binomiale, les probabilités conditionnelles, l'étude des suites numériques (notamment par récurrence) et l'analyse de fonctions (limites, continuité, dérivation et convexité). Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences spécifiques et la capacité à les appliquer dans des contextes variés.

Exercice 1 : Questionnaire à Choix Multiples (QCM)

Ce premier exercice, noté sur 7 points, est un QCM balayant rapidement des notions clés de la loi binomiale et de l'analyse de fonction, sans justification demandée.

Partie A : Loi Binomiale
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0.2\), notée \(\mathcal{B}(20, 0.2)\), et \(Y = 5X - 2\). Les questions portent sur :

• Le calcul d'une probabilité ponctuelle \(P(X=2)\) en appliquant la formule \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
• Le calcul de la variance \(V(X)\) avec la formule \(np(1-p)\).
• La détermination de l'espérance \(E(Y)\) en utilisant la propriété de linéarité de l'espérance : \(E(aX+b) = aE(X)+b\).
• Le calcul d'une probabilité sur un intervalle, \(P(3 \leq X \leq 7)\), qui se ramène à une différence de probabilités cumulées.
• Le calcul de la variance \(V(Y)\) via la formule \(V(aX+b) = a^2V(X)\).

Partie B : Étude de fonction et convexité
Cette partie concerne la fonction polynôme \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 1\). Il est demandé de :

• Déterminer la limite de \(g(x)\) en \(+\infty\), une compétence de base sur les fonctions polynômes.
• Identifier le point d'inflexion de la courbe de \(g\). Cela nécessite de calculer la dérivée seconde \(g''(x)\), de résoudre \(g''(x)=0\) et de vérifier que le signe de \(g''(x)\) change.

Exercice 2 : Problème de Probabilités

Ce problème de 12 points est un cas d'étude classique sur le dépistage d'une maladie, qui mobilise les probabilités conditionnelles et la loi binomiale.

• Partie A : Probabilités Conditionnelles. La première étape consiste à construire un arbre pondéré pour modéliser la situation. On calcule ensuite la probabilité d'une intersection d'événements, puis on applique la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité qu'un test soit positif. L'exercice se conclut par un calcul de probabilité conditionnelle \(P(M|T)\), illustrant l'inversion de l'arbre.
• Partie B : Loi Binomiale. Le contexte change : on répète l'expérience (le test) 10 fois. Il faut justifier que la variable aléatoire \(X\) comptant les succès suit une loi binomiale et en préciser les paramètres. Les questions suivantes portent sur le calcul et l'interprétation de son espérance \(E(X)\), et le calcul de probabilités \(P(X=k)\), \(P(X \geq k)\), \(P(X \leq k)\).
• Partie C : Variable Aléatoire et Espérance. Une nouvelle variable aléatoire, le coût, est introduite. Il faut établir sa loi de probabilité à partir des données du problème, puis calculer son espérance mathématique pour prévoir le coût total sur un grand effectif.

Exercice 3 : Étude d'une suite récurrente

Cet exercice d'analyse (12 points) se concentre sur l'étude d'une suite définie par une relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f(x) = \frac{3+4x}{4+3x}\).

• Partie A : Étude de la fonction \(f\). Une étude préliminaire de la fonction homographique \(f\) est nécessaire : calcul de limites aux bornes, recherche d'asymptotes et établissement du tableau de variations via l'étude du signe de la dérivée \(f'(x)\).
• Partie B : Étude de la suite \((u_n)\). On démontre par un raisonnement par récurrence que la suite est bornée et monotone. Ces deux propriétés permettent, grâce au théorème de la limite monotone, de conclure que la suite est convergente.
• Partie C : Suite auxiliaire. Pour trouver la limite, on introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) qui se révèle être une suite géométrique. On peut alors trouver la forme explicite de \((v_n)\), puis celle de \((u_n)\), et enfin calculer la limite de \((u_n)\).

Exercice 4 : Analyse de fonction et lecture graphique

Ce dernier exercice (9 points) est un problème d'analyse complet où l'on doit déterminer les paramètres d'une fonction \(f(x) = (x^2 - b)e^{ax}\) avant de l'étudier.

• Partie A : Détermination des paramètres. À partir de la représentation graphique, il faut justifier l'existence d'un point d'inflexion par analyse de la convexité. Ensuite, la lecture graphique du nombre dérivé en un point, combinée aux coordonnées d'un point de la courbe, permet de déterminer les valeurs des réels \(a\) et \(b\).
• Partie B : Étude de fonction. L'expression de la fonction étant trouvée, \(g(x) = (x^2 - 12)e^{-0.5x}\), on mène une étude classique : limites, calcul de la dérivée, et construction du tableau de variations complet.
• Partie C : Application économique. La fonction étudiée est utilisée pour modéliser une fonction de demande. Cet exemple d'application concrète permet de réinvestir les calculs effectués, notamment via le concept d'élasticité de la demande.

Ce sujet de contrôle est un excellent outil de révision pour le bac, couvrant une grande partie du programme de Terminale. Mots-clés : sujet de maths, contrôle corrigé, Terminale spécialité, loi binomiale, probabilités conditionnelles, suite récurrente, étude de fonction, convexité, baccalauréat.