Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale spécialité est entièrement dédié au chapitre du calcul intégral. Il constitue un excellent sujet d'entraînement pour les élèves souhaitant consolider leurs connaissances sur les primitives, le calcul d'aires, l'intégration par parties et l'étude de suites d'intégrales. Ce sujet de bac blanc aborde l'ensemble des compétences clés du chapitre, de la simple application des formules de primitives aux raisonnements plus complexes impliquant des inégalités et des suites.

Exercice 1 : Applications du calcul intégral

Cet exercice en trois questions indépendantes balaye plusieurs applications fondamentales de l'intégrale.

• La première question demande de calculer l'aire d'une surface délimitée par la courbe de la fonction \( g(x) = x^2 - 1 \), l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x=-1 \) et \( x=2 \). Une attention particulière est requise car la fonction est négative sur une partie de l'intervalle. Il faut donc utiliser la relation de Chasles pour décomposer l'intégrale : \( A = \int_{-1}^{2} |x^2-1| \,dx = \int_{-1}^{1} -(x^2-1) \,dx + \int_{1}^{2} (x^2-1) \,dx \).
• La deuxième question est une application concrète : calculer la hauteur moyenne d'une ligne électrique. La hauteur est modélisée par la fonction \( h(x) = 10(e^{\frac{x}{40}} + e^{-\frac{x}{40}}) \) sur l'intervalle \( [-80 ; 80] \). Il s'agit d'appliquer la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle \( [a, b] \) : \( \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} h(x) \,dx \).
• La troisième question porte sur l'étude des variations d'une fonction définie par une intégrale : \( F(x) = \int_{0}^{x} (1 - e^{-t^2}) \,dt \). Pour cela, on utilise le théorème fondamental de l'analyse qui lie intégrale et primitive. On dérive \( F(x) \) pour obtenir \( F'(x) = 1 - e^{-x^2} \), puis on étudie le signe de cette dérivée pour en déduire les variations de \( F \).

Exercice 2 : Maîtrise des techniques de primitivation

Cet exercice est un test technique qui évalue la capacité à calculer différentes intégrales en reconnaissant les formes usuelles de primitives.

• \( \int_{-2}^{0} e^{3x+1} \,dx \) : nécessite la connaissance de la primitive de \( e^{ax+b} \).
• \( \int_{1}^{2} x e^{x^2} \,dx \) : il faut reconnaître une forme \( \frac{1}{2}u'e^u \) avec \( u(x) = x^2 \).
• \( \int_{3}^{4} \frac{2x-2}{x^2-2x} \,dx \) : il s'agit d'une forme \( \frac{u'}{u} \) avec \( u(x) = x^2-2x \), dont la primitive est \( \ln(|u(x)|) \).
• \( \int_{0}^{\pi} (\cos(\frac{x}{2}) + \sin(x)) \,dx \) : demande de connaître les primitives des fonctions trigonométriques sinus et cosinus.
• \( \int_{0}^{1} (x+1)e^{-x} \,dx \) : cette dernière intégrale se calcule à l'aide d'une intégration par parties (IPP), une compétence essentielle en Terminale.

Exercice 3 : Étude d'une suite d'intégrales

Ce dernier exercice, plus théorique, porte sur l'étude d'une suite d'intégrales définie pour tout entier naturel \( n \) par \( I_n = \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{1-x} \,dx \). Ce type d'exercice est classique et permet d'évaluer la capacité à manipuler les intégrales dans un contexte plus large.

• Les premières questions consistent à calculer les termes initiaux \( I_0 \) et \( I_1 \), en utilisant la linéarité de l'intégrale.
• La partie centrale de l'exercice consiste à démontrer une inégalité sur l'intégrande (la fonction dans l'intégrale) pour ensuite en déduire un encadrement de l'intégrale \( I_n \). On utilise la propriété de positivité et de croissance de l'intégrale.
• La question finale demande d'étudier la convergence de la suite \( (I_n) \). Grâce à l'encadrement obtenu précédemment, on peut appliquer le théorème des gendarmes pour déterminer la limite de la suite lorsque \( n \) tend vers l'infini.

En résumé, ce sujet de contrôle sur le calcul intégral est très complet. Il permet de réviser en profondeur les méthodes de calcul de primitives, l'intégration par parties, ainsi que des applications plus complexes comme la valeur moyenne ou l'étude de suites d'intégrales. Un excellent support pour préparer le bac de mathématiques.