10. Primitives de cosinus et sinus

Introduction

Allez les amis, comme d'habitude, on est parti pour gérer des primitives de fonctions composées avec du sinus ou du cosinus. C'est-à-dire les situations inextricables où vous avez genre des polynômes à l'intérieur de sinus ou de cosinus. On se fait ça tout de suite.

Formules de base

Retenez bien les deux formules qui s'affichent là, elles sont très semblables. La primitive de \(U' \cos(u)\) c'est \(\sin(u)\) et la primitive de \(U' \sin(u)\) c'est \(-\cos(u)\). De manière générale, on se souviendra que les embrouilles arrivent toujours à cosinus quand il y a un moins dans l'histoire, il est du côté de cosinus. Pour gérer la primitive, on ne change pas une équipe qui gagne, on répète notre petite écriture qui règle tous les problèmes. On pose \(u = U'\) et \(f = F'\), donc quand \(f = F'\), on roule. Si cette fonction-là est de la forme \(U'\cos U\), ce que vous allez pouvoir lire très simplement, c'est le \(U\). En effet, si là j'ai \(U''\cos u\), mon \(u\) c'est ce qui va se lire à l'intérieur du cosinus, donc mon \(u\) c'est forcément \(X^2\). Du coup, mon \(U''\), attention, je ne fais toujours pas le lire devant, ça commence à faire. Cette fois, je cache ça, je vais dériver à ce bail là, la dérivée de \(X^2\) c'est \(2X\). Une fois que j'ai \(2X\), je réfléchis, est-ce que j'ai une \(\cos u\)? Ben non, j'ai pas le prime quoi dessus, parce que si j'avais eu prime quoi, je devrais avoir un \(2X\) là, or j'ai un \(4X\). Donc moi, j'ai pas \(U' \cos u\), j'ai deux fois \(U'\) parce que deux fois \(2X\) ça fait \(4X\). Donc j'ai deux \(U' \cos u\), et ben du coup ma primitive c'est deux fois \(\sin u\) d'après la formule qui est là-bas. Du coup, toutes mes primitives, je les veux tout, donc il va falloir que je mette le plus. Elles s'écrivent \(F(X) = 2 \sin u\), donc \(2 \sin 2X^2 + C\) avec \(C\) qui est un nombre réel. Bim, c'est terminé.

Cas du sinus

Qu'est-ce qui se passe dans le cas où j'ai du sinus à la place du cosinus? On écrit la même chose, on pose \(U = U'\), donc \(f = F'\), et on s'y remet. Là, je veux \(U' \sin u\), donc je me dis, quel est mon \(u\)? Mon \(u\) c'est forcément ce qui est à l'intérieur du sinus, donc mon \(u\) ça serait plutôt \(X^3 + 1\). Du coup, mon \(U'\), mais est-ce que je lis là? Non, surtout pas, je cache ça, je dérive ça. La dérivée de 1 c'est 0, la dérivée de \(X^3\) c'est \(3X^2\). Du coup, j'ai bien \(U' 3X^2 \sin u\), donc mon \(F\) c'est bien \(U' \sin u\). Donc ma primitive c'est bien \(-\cos u\). Du coup, toutes les primitives de cette fonction, elles s'écrivent \(G(X) = - \cos u\), donc \(- \cos (X^3 + 1) + C\), avec \(C\) qui est un nombre réel. Et bim, c'est terminé. C'est aussi simple que ça, il n'y a rien de compliqué dans les primitives. On vous a mis des petits exercices en dessous pour vous entraîner tranquillement. À vous de jouer, vous êtes des champions!