Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir les primitives exponentielles. Regardez la vidéo jusqu'au bout parce que là on va faire un cas extrêmement simple, mais en vérité ce qui tombe c'est plutôt des cas comme celui-là . On se fait ça tout de suite.
Primitives simples et composées
Alors, vous savez faire des primitives simples, vous savez faire des intégrales, vous savez faire \( \frac{1}{x^2} \), vous savez faire des sommes, vous savez faire des polynômes. Vous allez faire tous ces petits machins. Ce que vous ne savez pas encore faire, c'est les primitives composées. Pour réussir à faire ça, il va falloir affronter la fiche qui s'affiche là et qui vous donne toutes les formules de primitives composées. Vous devez connaître donc vous devez reconnaître des primitives exponentielles de \( U \), vous devez reconnaître des \( U' \) sur \( u \), vous devez reconnaître des \( U \) primes, vous devez reconnaître tout un tas de choses.
Exemples de primitives composées
On va commencer par le commencement, par quand on compose avec des exponentielles. Quand vous avez des primitives compliquées à chercher comme ça, c'est les primitives qui sont composées. Il y a une rédaction qu'il faut faire et qui va vous permettre d'y arriver sans vous planter. C'est très simple, on pose \( u = \) parce qu'il y a toujours un \( U \) dans l'histoire. Ensuite on dit alors, \( U' = \), donc petit \( f \) égal, donc grand \( F \) votre primitive égale.
Si j'ai \( du \) exponentiel, c'est que j'utilise la première formule de la fiche. Ma fonction elle est de la forme \( u' \) exponentielle de \( U \). Si ça c'est \( du \) prime exponentielle de \( U \), quel est le plus simple à reconnaître et le plus simple à reconnaître c'est \( u \), \( u \) c'est ce qu'il y a dans l'exponentiel. Donc mon \( u \) c'est \( x^2 + 1 \), donc je pose \( U = x^2 + 1 \).
Si \( u \) est égal à \( x^2 + 1 \), à quoi est égal \( U' \)? Là il y a une erreur à faire. L'erreur à faire c'est de se dire "bon si c'est de la forme \( U' \) exponentielle de \( U \) alors ce que je dis à l'intérieur c'est \( u \) et ce qu'il y a devant c'est \( U' \)". Ça ne sera pas toujours le cas, on ne va pas toujours vous donner \( du \) prime exponentielle de \( U \). Donc ne regardez surtout pas là quand vous cherchez votre \( U' \), vous regardez là , la dérivée de \( x^2 + 1 \) c'est tout simplement \( 2x \).
Et maintenant vous regardez \( F \) et vous vous demandez est-ce que j'ai bien une forme \( U' \) exponentielle de \( U \)? Ben j'ai \( 2x \) exponentielle de \( x^2 + 1 \), \( 2x \) c'est \( U' \), \( x^2 + 1 \) c'est \( U \), donc j'ai bien \( U' \) exponentielle de \( U \). Donc mon petit \( f \) je peux Ă©crire que c'est \( U' \) exponentielle de \( U \) et vu que je connais mon cours je sais que du coup grand \( F \) c'est de la forme exponentielle de \( U \).
Donc je sais que toutes les primitives de \( f \) s'écrivent \( F(x) = \) exponentielle de \( x^2 + 1 \) plus une constante qui est un nombre réel. Si je ne mets pas plus \( C \) avec \( C \) qui appartient à \( \mathbb{R} \), j'ai que la moitié des points parce que j'ai pas trouvé toutes les primitives, j'ai trouvé une primitive.
Deuxième cas
Le cas que vous allez réellement avoir pendant des contrôles. On reprend la même terminologie donc on pose \( u = \), alors \( U' = \), donc petit \( f = \), donc grand \( F = \) et on est parti.
Si on a \( U' \) exponentielle de \( U \), le plus simple à lire c'est notre \( U \) qui est là donc c'est \( 3x^2 + 6x + 1 \). Du coup mon \( U' \) c'est quoi? Je ne regarde surtout pas là , je cache et je dérive ça, c'est \( 6x + 6 \).
Du coup est-ce que j'ai un \( U' \) exponentielle de \( U \)? Ah bah non, pourquoi? Parce que là c'est \( 6x \), là c'est \( 3x + 3 \). Du coup j'ai pas \( U \) exponentielle de \( U \), en fait j'ai pas exactement \( U' \) exponentielle de \( U \) parce que \( 3x + 3 \) c'est la moitié de \( 6x \). Donc en fait moi ce que j'ai c'est plutôt la moitié, un demi de \( U' \) exponentielle de \( U \).
Du coup ma primitive ça va être la moitié de exponentielle de \( U \) parce que vous savez bien que quand vous dérivez, vous intégrez, quand il y a un chiffre devant vous ne le prenez pas en compte, vous dérivez, vous intégrez et c'est terminé.
Du coup toutes les primitives je sais que je vais avoir plus \( C \) avec \( C \) qui appartient à \( \mathbb{R} \) et je sais qu'elles vont s'écrire \( G(x) = \frac{1}{2} \) exponentielle de \( 3x^2 + 6x + 1 \) plus une constante avec votre constante qu'un nombre réel.
Entraînez-vous à trouver ces coefficients qui sont là , on vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des brutes.