Introduction
Allez les amis, on est parti pour finir ces histoires d'aire. On se demande comment on fait pour calculer une aire quand on a une fonction qui est un coup positive, un coup négatif, comme la fonction \(-x + 1\). On fait ça tout de suite.
Problème de fonction alternant entre négatif et positif
Pour régler ce problème de fonction une fois négative, une fois positive, ce qu'on va faire, c'est qu'on va juste découper notre domaine en deux. La première, on va l'appeler \(A1\) et la deuxième, on va l'appeler \(A2\). On peut dire que notre aire totale c'est tout simplement la somme de \(A1 + A2\). Pourquoi est-ce qu'on fait ça ? Parce que du coup, sur \(A1\) et sur \(A2\), la fonction \(-2x + 1\) a les mêmes propriétés de signes, autrement dit, elle est tout le temps positive sur \(A1\) et tout le temps négative sur \(A2\).
Du coup, pour \(A1\), on va pouvoir dire que, vu que la fonction est positive, c'est l'intégrale de \(f(x) dx\). Et sur \(A2\), vu que la fonction \(f\) est négative, ça va être l'intégrale de \(-f(x) dx\), parce que je vous rappelle que quand une fonction est négative, pour calculer l'aire sous la fonction, il faut faire l'intégrale de \(-f(x)\).
Calcul des intégrales
On a plus qu'à renseigner les bornes. L'intervalle \(A1\) commence à 0 et il finit quelque part, donc on part de zéro et on finit quelque part. Pour le deuxième, pour \(A2\), on recommence de ce quelque part et on va jusqu'à 2.
Il nous reste plus qu'à trouver le moment où la fonction \(f\) passe de positive à négative, autrement dit le moment où \(f(-2x)\) elle vaut 0, c'est-à-dire quand est-ce que \(-2x + 1\) est égal à 0, c'est à dire quand est-ce que \(-2x\) est égal à \(-1\), c'est à dire quand est-ce que \(x\) est égal à \(1/2\).
Donc je sais que mon nombre mystère ici c'est \(1/2\), donc je peux le remplacer dans mes intégrales. Ça me fait une intégrale de 0 à \(1/2\) et une autre de \(1/2\) à 2.
Je calcule ces intégrales. La première est une primitive de \(f(x)\), c'est-à-dire une primitive de \(-2x + 1\), donc \(-x^2 + x\) entre 0 et \(1/2\). Et la deuxième est une primitive de \(-f(x)\), donc \(2x - 1\) entre \(1/2\) et 2. Sauf que une primitive de \(2x - 1\) c'est \(x^2 - x\).
On a plus qu'à le calculer. \(-x^2 + x\) appliqué en \(1/2\) ça me fait \(-1/4 + 1/2\). En 0, ça fait 0. Je reprends ici donc plus \(x^2 - x\) appliqué en 2 donc \(4 - 2\), moins ça appliqué en \(1/2\) donc \(-1/4 - 1/2\). Donc \(-1/4 + 1/2 - 1/4 - 1/2\) ça me fait \(-1/2 + 1/2\) ça me fait 0 et il me reste 2.
Donc l'aire que je cherche, elle vaut 2. Quand vous avez une fonction qui est tantôt négative, tantôt positive, vous trouvez l'endroit où elle change de signe et vous transformez votre aire en deux aires, donc en deux calculs d'intégrale sur des intervalles où la fonction est strictement positive ou strictement négative.
On vous a mis des petits exercices en dessous, entraînez-vous, à vous de jouer.