Introduction
Allez les amis, on continue notre série sur les primitives avec les primitives compliquées. Quand vous avez des fonctions inverses de la forme \( \frac{U'}{U} \) avec une fonction composée en bas, on se fait ça tout de suite. Je vous en ai mis deux, une très simple, une plus compliquée. Attention, c'est plutôt ce genre-là que vous risquez d'avoir au contrôle. Je vous rappelle que quand vous avez des primitifs composés, c'est-à -dire des primitives complexes qui ne sont pas juste des sommes de petites primitives, il faut utiliser le tableau qui s'affiche là . On va prendre aujourd'hui à utiliser la forme \( \frac{U'}{U} \) quasiment tout le temps.
Exemple simple
La forme que vous avez utilisée quand vous avez une division avec par exemple un polynôme en dessous qui n'est pas à une puissance, par exemple qui n'est pas au carré, qui n'est pas au cube. Comment est-ce qu'on fait ça ? On pose \( U = X^2 - X + 5 \). Donc, \( U' = 2X - 1 \). Une fois qu'on a fait ça, on se pose la question : est-ce que \( F = \frac{U'}{U} \) ? Donc oui, \( F = \frac{U'}{U} \). Du coup, on sait d'après le tableau qu'une primitive de \( \frac{U'}{U} \) c'est le logarithme de \( U \). Et vu qu'on cherche toutes les primitives, on sait donc que ces primitives vont s'écrire \( F(X) = \ln(U) + C \), avec \( C \) une constante.
Exemple compliqué
On reprend, on fait la deuxième qui est la version plus compliquée, c'est-à -dire celle avec la petite constante à trouver. Donc, on pose \( U = X^2 - X + 1 \). Donc, \( U' = 2X - 1 \). On a bien une forme \( \frac{U'}{U} \), mais clairement pas là . On a \( 6X - 3 \) en haut. Donc, ce que j'ai en réalité, c'est trois fois \( \frac{U'}{U} \). Autrement dit, mon \( G = 3 \times \frac{U'}{U} \). Du coup, ma primitive, ça va être trois fois le logarithme de \( U \). Et vu que je cherche toutes les primitives de ma fonction \( G \), je vais écrire que mon \( G(X) = 3 \ln(U) + C \), avec \( C \) une constante.
La difficulté encore une fois, c'est de trouver ce coefficient là . On vous en a mis plein en dessous, allez vous entraîner pour que ça vous rentre dans la tête et défoncer ce contrôle.