Obtenez une préparation complète pour le baccalauréat avec ce corrigé détaillé du sujet 15 de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale spécialité. Ce document est une ressource essentielle pour les lycéens qui souhaitent maîtriser les chapitres clés du programme et s'entraîner dans des conditions d'examen. Le sujet, d'une durée de 4 heures, est composé de quatre exercices indépendants balayant un large spectre de compétences : les probabilités conditionnelles et la loi binomiale, l'étude approfondie de fonctions avec la continuité et la convexité, les suites numériques sous forme de QCM, et enfin la géométrie dans l'espace.

Chaque exercice est analysé en détail, avec des explications claires et des rappels de cours pour consolider vos connaissances. Ce corrigé est idéal pour identifier vos points forts et vos faiblesses, et pour vous familiariser avec le type de questions posées à l'examen. Mots-clés : Sujet de maths, Bac Blanc, Terminale spécialité, corrigé, probabilités, étude de fonction, suites, géométrie dans l'espace, préparation au bac.

Exercice 1 : Probabilités conditionnelles et Loi Binomiale (6 points)

Cet exercice de probabilités est un classique du baccalauréat. Il se divise en deux parties pour évaluer votre compréhension des probabilités conditionnelles et votre maîtrise de la loi binomiale.

• Partie A : Arbre de probabilités et probabilités totales
  La première partie vous guide dans la modélisation d'une situation concrète (production de pièces par deux chaînes de montage) à l'aide d'un arbre pondéré. Vous devrez :
  1. Construire un arbre de probabilités complet en traduisant les données de l'énoncé, notamment \(P(C_1) = 0.8\), \(P(D) = 0.032\) et \(P_{C_1}(D) = 0.03\).
  2. Calculer la probabilité d'une intersection d'événements, ici la probabilité que la pièce provienne de la chaîne 1 et soit défectueuse : \(P(C_1 \cap D)\).
  3. Utiliser la formule des probabilités totales, \(P(D) = P(C_1 \cap D) + P(C_2 \cap D)\), pour en déduire des probabilités manquantes et démontrer que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle sort de la chaîne 2 est de \(0.04\).
• Partie B : Loi binomiale
  La seconde partie change d'échelle et s'intéresse à des cartons de \(n\) pièces. Le tirage étant assimilé à un tirage avec remise, il s'agit d'une application directe de la loi de Bernoulli et de la loi binomiale. Vous devrez :
  1. Justifier que la variable aléatoire \(X\), comptant le nombre de pièces défectueuses, suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) et identifier ses paramètres \(n\) et \(p=0.032\).
  2. Pour \(n=20\), calculer diverses probabilités à l'aide de la calculatrice : la probabilité d'avoir exactement 3 pièces défectueuses \(P(X=3)\), la probabilité d'en avoir entre 2 et 5, \(P(2 \le X \le 5)\), et la probabilité d'en avoir au moins une, \(P(X \ge 1)\), en utilisant l'événement contraire.
  3. Résoudre une inéquation pour trouver la plus grande valeur de \(n\) respectant une contrainte qualité. Il s'agit de résoudre \(P(X \ge 1) < 0.15\), ce qui se ramène à \(1 - (1-p)^n < 0.15\) et nécessite l'utilisation du logarithme.

Exercice 2 : Étude de fonction, Continuité et Convexité (5 points)

Cet exercice est une analyse de fonction complète, un pilier du programme de Terminale. Il est structuré autour d'une fonction auxiliaire, une méthode très fréquente au bac.

• Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire polynomiale
  On étudie la fonction \(p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\). Cette partie prépare le terrain pour l'étude de la convexité dans la partie B.
  1. Calcul de la limite en \(-\infty\) d'un polynôme par la règle du terme de plus haut degré.
  2. Détermination des variations de \(p\) en étudiant le signe de sa dérivée \(p'(x)\), un polynôme du second degré. Le calcul du discriminant est nécessaire.
  3. Application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur un intervalle où la fonction est continue et strictement monotone pour prouver que l'équation \(p(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).
  4. Encadrement de la solution \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près à l'aide de la calculatrice (fonction tableur ou balayage).
  5. Déduction du tableau de signes de \(p(x)\) à partir de son tableau de variations et de sa racine \(\alpha\).
• Partie B : Étude de la fonction principale et convexité
  On étudie la fonction \(f(x) = \frac{e^x}{1+x^2}\) et sa courbe \(\mathcal{C}_f\).
  1. Calcul des limites en \(-\infty\) et \(+\infty\). La limite en \(+\infty\) est une forme indéterminée qui se lève par croissance comparée.
  2. Calcul de la dérivée \(f'(x)\) en utilisant la formule de dérivation d'un quotient.
  3. Analyse du signe de \(f'(x)\) pour justifier l'existence d'une unique tangente horizontale.
  4. L'étude de la convexité est le point central. On vous donne la dérivée seconde \(f''(x) = \frac{p(x)(x-1)e^x}{(1+x^2)^3}\). Pour déterminer si la "rampe de skate" (la courbe \(\mathcal{C}_f\)) a au moins deux points d'inflexion, il faut étudier le signe de \(f''(x)\). Grâce au tableau de signes de \(p(x)\) établi en partie A, on peut dresser le tableau de signes complet de \(f''(x)\) et conclure sur le nombre de points d'inflexion.

Exercice 3 : Suites Numériques - QCM (4 points)

Ce QCM évalue votre rapidité et votre précision sur différents aspects des suites numériques. Aucune justification n'est demandée, mais un travail au brouillon est indispensable.

• Question 1 : Reconnaissance d'une suite arithmético-géométrique \(a_{n+1}=0.5a_n+1\). On teste la nature de la suite auxiliaire \(b_n = a_n - 2\) en calculant \(b_{n+1}\) en fonction de \(b_n\) pour montrer qu'elle est géométrique.
• Question 2 : Calcul des premiers termes d'un système de deux suites récurrentes croisées (\(u_{n+1}=u_n+3v_n\) et \(v_{n+1}=u_n+v_n\)) pour vérifier laquelle des quatre affirmations est correcte.
• Question 3 : Analyse d'un court algorithme en Python. Il faut comprendre le fonctionnement de la boucle `for` pour déterminer ce que la fonction `return` à la fin de l'exécution (ici, les termes de rang 10).
• Question 4 : Application des théorèmes sur les limites de suites. À partir des informations \(u_n \le v_n\) et \(\lim_{n \to +\infty} v_n = 2\), il faut déterminer la proposition correcte concernant la suite \((u_n)\). La notion de suite majorée est ici testée (toute suite convergente est bornée).

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Cet exercice vous plonge dans un problème de géométrie analytique dans un repère orthonormé de l'espace. Il s'agit de manipuler les coordonnées, les vecteurs, les équations de droites et de plans.

• Question 1 : Lecture de coordonnées de points dans un repère défini à partir des arêtes d'un pavé droit.
• Question 2 :
  1. Détermination d'une équation cartésienne du plan \((EHI)\) en utilisant un vecteur normal \(\vec{n}(1, 0, -1)\) donné et les coordonnées d'un point du plan (par exemple \(E\)). L'équation est de la forme \(ax+by+cz+d=0\).
  2. Déduction des coordonnées du point \(I\) en utilisant plusieurs informations : son appartenance au plan \((EHI)\), son appartenance au plan \((ABE)\) (donc \(y_I=0\)) et la condition d'isocélie du triangle \(EIF\) en \(I\) (\(IE=IF\)).
• Question 3 : Calcul de la mesure de l'angle \(\widehat{EIF}\) en utilisant le produit scalaire. On calcule les coordonnées des vecteurs \(\vec{IE}\) et \(\vec{IF}\), puis leur produit scalaire \(\vec{IE} \cdot \vec{IF}\). La valeur nulle du produit scalaire permet de conclure que l'angle est droit (90°).
• Question 4 : Étude de l'intersection d'une droite et d'un plan.
  1. Établissement d'une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par le point \(R(8, -4, -2)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(-2, 3, 1)\).
  2. Calcul des coordonnées du point d'intersection \(K\) de la droite \(\Delta\) avec le plan \((BFG)\), dont on détermine l'équation simple \(x=4\).
  3. Vérification de l'appartenance du point \(K\) au segment \([BC]\) en contrôlant que ses coordonnées respectent les conditions définissant le segment.