Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de Terminale spécialité est un excellent entraînement sur les chapitres des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires. L'exercice, présenté sous le titre "Loi des grands nombres", est un problème complet qui mobilise de nombreuses compétences essentielles pour le baccalauréat.

Le sujet porte sur une situation concrète : la réservation d'options (véhicule, cabine) lors d'une traversée en navire. Il est divisé en deux parties interdépendantes.

Partie A : Probabilités conditionnelles et arbre pondéré

Cette première partie évalue la maîtrise des outils de base des probabilités conditionnelles. À partir des données de l'énoncé sur les réservations, il faut manipuler les événements \(V\) (« la famille réserve un emplacement pour le véhicule ») et \(C\) (« la famille réserve une cabine »).

• Calcul de probabilités simples et d'intersections : La première question consiste à identifier une probabilité donnée dans le texte (\(p(C)\)) et à calculer la probabilité d'une intersection, \(p(V \cap C)\), en utilisant la formule des probabilités conditionnelles : \(p(V \cap C) = p_V(C) \times p(V)\).
• Probabilité conditionnelle inverse : Il est ensuite demandé de calculer \(p_C(V)\), ce qui revient à "inverser" la conditionnelle. Cela se fait via la formule : \(p_C(V) = \frac{p(V \cap C)}{p(C)}\).
• Utilisation des événements contraires et de la formule des probabilités totales : La troisième question demande le calcul de \(p_{\bar{V}}(C)\), la probabilité de réserver une cabine sachant qu'on n'a pas réservé de véhicule. Ce calcul nécessite de trouver \(p(\bar{V} \cap C)\), ce qui peut se faire en utilisant la formule des probabilités totales : \(p(C) = p(V \cap C) + p(\bar{V} \cap C)\).
• Construction d'un arbre pondéré : L'exercice se conclut par la complétion d'un arbre de probabilités, un excellent moyen de synthétiser toutes les informations et de vérifier la cohérence des calculs précédents.

Partie B : Variables aléatoires, Espérance et Variance

La seconde partie introduit des variables aléatoires pour modéliser les coûts supplémentaires payés par les familles. C'est une application directe des résultats de la partie A.

• Détermination d'une loi de probabilité : On définit une variable aléatoire \(X\) représentant le coût des suppléments. Il faut justifier sa loi de probabilité en associant chaque valeur possible (0€, 70€, 100€, 170€) à une intersection d'événements de la partie A (par exemple, \(X=170\) correspond à \(V \cap C\)) et en calculant les probabilités correspondantes.
• Calcul de l'espérance et de la variance : Il s'agit d'appliquer les formules du cours pour calculer l'espérance \(E(X) = \sum_{i} x_i p(X=x_i)\) et la variance \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). Cela demande rigueur et maîtrise de la calculatrice.
• Transformation de variables aléatoires : Une nouvelle variable aléatoire \(Z\) est introduite, définie comme \(Z = 0,6(X+Y)\), où \(Y\) est une autre variable aléatoire indépendante de \(X\). Cela modélise l'application d'une remise.
• Propriétés de l'espérance et de la variance : La dernière question est un test sur la connaissance des propriétés opératoires de l'espérance et de la variance. Il faut utiliser :
  • La linéarité de l'espérance : \(E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)\).
  • La propriété de la variance pour des variables indépendantes : \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\).
  • La propriété de la variance face à une multiplication par un scalaire : \(V(aX) = a^2 V(X)\).
  Ce qui permet de calculer \(E(Z)\) et \(V(Z)\) à partir des valeurs connues pour \(X\) et \(Y\).

Ce sujet de contrôle est donc un cas d'étude complet, parfait pour réviser et approfondir sa compréhension des probabilités en Terminale. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale, Spécialité, Probabilités, Arbre pondéré, Variables aléatoires, Espérance, Variance.