Introduction
Allez les familles, on est parti pour voir comment gagner un temps considérable quand on veut calculer des variances. Prenons un exercice où on vous demande d'abord de calculer une variance, puis on change l'énoncé et on vous demande de refaire les calculs.
Calcul de la variance
Quand vous avez un exercice comme ça, la variance, vous allez devoir la calculer au moins une fois. Donc, on lance un dé et on gagne le gain qui est inscrit sur le dé. Pour calculer la variance, il faut faire la loi de probabilité, il faut calculer l'espérance et ensuite faire la formule de la variance. Ça peut vous prendre trois heures. Ici, on ne va pas le faire. Cette variance, on l'a déjà calculée dans une compétence précédente. La variance dans cet exercice, c'est \(2.91\). Donc, vous travaillez, vous travaillez, vous n'avez pour un quart d'heure de sueur pour arriver à ça.
Changement de l'énoncé
Et là , on vous dit : le jeu coûte 10 euros et on gagne 3 euros par point. Et vous dites : "Attends, il faut que je recommence tout le calcul que j'ai fait ici, la loi de probabilité, l'espérance, que je calcule la variance". Et je ne sais pas si vous vous souvenez des calculs de variance, mais c'est un truc avec des parenthèses, non plus finir, fin, c'est l'enfer. Non, vous allez commencer par dire que finalement, ce que vous cherchez, c'est plus la variance de \(X\), parce que la variance de ce mix, vous l'avez calculée, ce n'est pas ça qu'on cherche. Nous, ce qu'on cherche, c'est la variance de \(3X - 10\). Pourquoi ? Parce que pour avoir le nouveau gain, je prends mon ancien gain, le gain qui s'affichait quand je gagnais un euro, et je le multiplie par 3. Donc, c'est trois fois mon ancien gain que j'enlève 10. Pourquoi ? Parce que m'inscrire au jeu, ça m'a coûté 10 euros. Du coup, mon gain final, ça va être trois fois ce qui est affiché sur le dé, moins les dix euros de participation. Donc, en fait, c'est cette variance-là que vous voulez calculer.
Utilisation de la formule
Oui, mais vous avez une formule. Elle s'affiche là : la variance de \(aX + b\) c'est \(a^2\) fois la variance de \(X\). Donc, la variance de \(3X - 10\) est \(3^2\) fois la variance de \(X\), et ça me fait donc \(9 \times 2.91\), ce qui est grosso modo égal à 26. Vous encadrez et vous prenez le point. Pas besoin de refaire le tableau. Il faut que vos yeux s'habituent à reconnaître les cas d'exercice où vous avez le droit d'utiliser la fameuse formule de la variance de \(aX + b\). Ça tombe bien, on vous a mis en dessous plusieurs exercices corrigés avec exactement ce genre de situation pour que vous appreniez à les revoir. Son contrôle, faites-les, ça vous fera du bien. À vous de jouer.