Ce contrôle de mathématiques pour la Terminale spécialité est centré sur le chapitre des Probabilités, et plus particulièrement sur la Loi des grands nombres. Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et réviser les notions clés telles que la loi binomiale, l'espérance, la variance, les probabilités conditionnelles, ainsi que l'application des inégalités de concentration comme l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ce sujet corrigé vous permettra de valider votre compréhension des variables aléatoires et de leur comportement asymptotique.

Exercice 1 : Application de la loi binomiale (7 points)

Cet exercice s'articule autour d'un QCM de culture générale où un élève, Tom, répond au hasard. C'est un cas d'étude classique pour introduire et manipuler la loi binomiale.

• Question 1 : Il s'agit d'identifier la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\), représentant le nombre de bonnes réponses. La situation est modélisée par la répétition de 25 épreuves de Bernoulli indépendantes (répondre à une question), où la probabilité de succès (donner la bonne réponse) est de \(p = 1/5\). On doit donc justifier que \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n=25, p=0.2)\). Ensuite, il faut calculer son espérance \(E(X) = np\) et sa variance \(V(X) = np(1-p)\).
• Question 2 : On introduit une nouvelle variable aléatoire \(Y\), le nombre de mauvaises réponses. La première étape est d'exprimer \(Y\) en fonction de \(X\), ce qui est simple : \(Y = 25 - X\). Puis, en utilisant les propriétés de l'espérance et de la variance pour une transformation affine, on calcule \(E(Y) = E(25-X) = 25 - E(X)\) et \(V(Y) = V(25-X) = (-1)^2 V(X) = V(X)\).
• Question 3 : On définit une troisième variable aléatoire \(Z\) qui modélise le score final de Tom. Une bonne réponse rapporte 2 points et une mauvaise en fait perdre 0,5. On doit exprimer \(Z\) en fonction de \(X\) et \(Y\) (\(Z = 2X - 0.5Y\)), puis en fonction de \(X\) seulement. Le calcul de l'espérance \(E(Z)\), qui représente le score moyen que Tom peut espérer, et de la variance \(V(Z)\) se fait à nouveau en appliquant les propriétés de linéarité.

Exercice 2 : Inégalité de concentration (3 points)

Cet exercice est une application directe de la loi des grands nombres via une inégalité de concentration. On étudie le lancer répété d'un dé équilibré.

• Question 1 : On définit la variable \(X_i\) qui vaut 1 si on obtient un 5 au i-ème lancer, et 0 sinon. Il faut reconnaître une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=1/6\) et donner son espérance \(E(X_i)=p\) et sa variance \(V(X_i)=p(1-p)\).
• Question 2 : On s'intéresse à la moyenne empirique \(M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}\). L'objectif est d'écrire l'inégalité de concentration de Bienaymé-Tchebychev : \(P(|M_n - E(M_n)| \ge \delta) \le \frac{V(M_n)}{\delta^2}\). Pour cela, il faut d'abord calculer l'espérance \(E(M_n) = E(X_i)\) et la variance \(V(M_n) = \frac{V(X_i)}{n}\).
• Question 3 : Cette question illustre la convergence de la moyenne empirique. En utilisant l'inégalité établie précédemment, on doit déterminer la taille minimale de l'échantillon \(n\) pour que la probabilité que la moyenne observée s'écarte de l'espérance de plus de 0,05 soit inférieure à un seuil de 0,1.

Exercice 3 : Problème de synthèse sur les probabilités (10 points)

Ce dernier exercice est un problème complet qui mobilise de nombreuses compétences en probabilités : probabilités conditionnelles, loi binomiale et loi des grands nombres.

• Questions 1 à 3 : On analyse les résultats d'une enquête. La première partie consiste à manipuler les probabilités conditionnelles. On doit construire un arbre pondéré pour modéliser la situation, puis utiliser la formule des probabilités totales pour retrouver la probabilité \(x\) qu'un étudiant ait réussi l'examen. Enfin, on applique la formule de Bayes (ou on inverse l'arbre) pour calculer la probabilité qu'un étudiant ait réussi sachant qu'il a répondu "oui".
• Question 4 : On modélise la note d'un étudiant par une variable aléatoire \(N\) suivant une loi binomiale \(\mathcal{B}(20, 0.615)\). Il est demandé de trouver un seuil de note à partir duquel les meilleurs étudiants (environ 30%) sont récompensés. Cela revient à chercher un entier \(k\) tel que \(P(N \ge k) \approx 0.3\), ce qui se résout à l'aide de la fonction de répartition de la loi binomiale sur une calculatrice.
• Questions 5 et 6 : On s'intéresse à un échantillon de 10 étudiants. On définit la somme de leurs notes \(S\) et la moyenne de leurs notes \(M\). Il faut calculer l'espérance et la variance de \(S\) et de \(M\) en utilisant les propriétés sur les sommes de variables aléatoires indépendantes. La dernière question est une nouvelle application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour justifier que la probabilité que la note moyenne se situe dans un certain intervalle autour de son espérance est supérieure à un seuil donné (85%).