Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir un type d'exercice qui tombe souvent où on vous demande, dans une première partie, de calculer une espérance suite à un jeu de hasard et ensuite on modifie les conditions de l'expérience. Par exemple, le jeu "Holidays" gratuit coûte 10 euros et on gagne plus un euro, voire 3 euros parfois. On va vous donner un raccourci immense pour ne pas avoir à calculer toute la probabilité pour calculer l'espérance. On s'y met.
Calcul de l'espérance
Dans un exercice comme ça, ce que je commence par faire, c'est calculer l'espérance. Vous savez que pour calculer l'espérance, il faut calculer d'abord la loi de probabilité et ensuite l'espérance. Cette partie-là, je ne vais pas vous l'imposer, on va se faire ça en accéléré juste pour que vous vous rendiez compte quand même de la galère que c'est.
Modification des conditions de l'expérience
Maintenant, le jeu coûte 10 euros et on gagne 3 euros par point affiché sur le dé. Donc là, vous avez deux options pour calculer la nouvelle espérance. Soit vous recommencez tout depuis le début, soit vous utilisez le raccourci.
Si jamais j'obtiens un sur le dé et je veux gagner non pas un euro mais 3 euros moins les 10 euros que ça m'aura coûté, donc si je fais un, ça me donne trois fois un euro moins 10. Si je fais deux, ça va faire trois fois 2 euros donc 6 - 10 et ainsi de suite.
C'est l'enfer complet. Le raccourci, plutôt que de passer par cette technique, vous vous rendez compte qu'en fait ce que vous souhaitez calculer, ce n'est plus l'espérance de \(X\), c'est l'espérance de \(3X - 10\). C'est formidable ça, pourquoi ? Parce qu'on a une formule magique qui dit que quand je veux calculer l'espérance de \(aX + b\), c'est \(a\) fois l'espérance de \(X\) + \(b\).
Et moi, j'ai calculé l'espérance de \(X\) qui s'élève à 3,25 donc ça fait \(3 \times 3.25 - 10\). Ça fait donc trois fois 3.5 et vous voyez comment en une à deux lignes, je me suis évité d'avoir à refaire tout le calcul d'espérance en passant par la probabilité.
Équité d'un jeu
J'en profite pour dire quelque chose : comment savoir si un jeu est équilibré ou pas ? Pour qu'un jeu soit équitable, il faut que l'espérance de gain soit nulle. Si l'espérance est positive, c'est à dire que c'est un jeu où en moyenne, si vous y jouez un grand nombre de fois, vous allez avoir tendance à gagner de l'argent. Si l'espérance est négative, c'est à dire que c'est un jeu où en moyenne, si vous jouez un grand nombre de fois, vous allez avoir tendance à perdre de l'argent. Donc un jeu équitable, c'est un jeu où l'espérance de gain est nulle.
On vous a mis des exercices en dessous. Cet exercice-là, il vient juste après ça. Il est très simple, ce qui est dur, c'est de reconnaître le contexte dans lequel on doit utiliser cette formule. On vous a mis une dizaine d'exercices en dessous là-dessus. À vous de jouer.