Contrôle corrigé de maths sur la géométrie dans l'espace en Terminale

Ce sujet de mathématiques, destiné aux élèves de Terminale spécialité, est un excellent entraînement sur les chapitres du produit scalaire, de l'orthogonalité dans l'espace, des représentations paramétriques et des équations cartésiennes. Le contrôle est centré sur un unique exercice long, permettant de balayer de nombreuses compétences clés de la géométrie dans l'espace. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question.

Analyse de l'Exercice 1 : Étude d'un parallélépipède rectangle

L'énoncé se base sur une figure représentant un parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\) dans un repère orthonormé d'origine \(A\). Les coordonnées de trois points essentiels sont données : \(B(12; 0; 0)\), \(D(0; 18; 0)\) et \(E(0; 0; 6)\). L'objectif est d'étudier les relations entre les droites et les plans de cette figure.

• Question 1 : Équation cartésienne du plan \((EBD)\)

  a) La première étape consiste à démontrer qu'un vecteur donné \(\vec{n}(3; 2; 6)\) est un vecteur normal au plan \((EBD)\). Pour ce faire, il faut prouver que \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, comme \(\vec{EB}\) et \(\vec{ED}\). On calcule leurs coordonnées : \(\vec{EB}(12; 0; -6)\) et \(\vec{ED}(0; 18; -6)\). On effectue ensuite le produit scalaire :
  \(\vec{n} \cdot \vec{EB} = 3 \times 12 + 2 \times 0 + 6 \times (-6) = 36 - 36 = 0\)
  \(\vec{n} \cdot \vec{ED} = 3 \times 0 + 2 \times 18 + 6 \times (-6) = 36 - 36 = 0\)
  Les deux produits scalaires étant nuls, \(\vec{n}\) est bien normal au plan \((EBD)\).

  b) Pour en déduire l'équation cartésienne du plan, on utilise les coordonnées de \(\vec{n}\). L'équation est de la forme \(3x + 2y + 6z + d = 0\). Pour trouver \(d\), on utilise les coordonnées d'un point du plan, par exemple \(B(12; 0; 0)\) :
  \(3 \times 12 + 2 \times 0 + 6 \times 0 + d = 0 \implies 36 + d = 0 \implies d = -36\).
  L'équation du plan \((EBD)\) est donc bien \(3x + 2y + 6z - 36 = 0\).

• Question 2 : Intersection d'une droite et d'un plan

  a) Il faut d'abord déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AG)\). Le point \(A\) est l'origine \((0;0;0)\). Les coordonnées de \(G\) dans ce parallélépipède sont \(G(12; 18; 6)\). Le vecteur directeur \(\vec{AG}\) a donc pour coordonnées \((12; 18; 6)\). La représentation paramétrique de \((AG)\) est :
  \(\begin{cases} x = 12t \\ y = 18t \\ z = 6t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\)

  b) Pour trouver le point d'intersection \(K\) de la droite \((AG)\) et du plan \((EBD)\), on substitue les expressions paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan :
  \(3(12t) + 2(18t) + 6(6t) - 36 = 0 \implies 36t + 36t + 36t = 36 \implies 108t = 36 \implies t = \frac{1}{3}\).
  On remplace \(t\) par sa valeur dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées de \(K(4; 6; 2)\), confirmant le résultat de l'énoncé.

• Question 3 : Orthogonalité d'une droite et d'un plan

  Pour que la droite \((AG)\) soit orthogonale au plan \((EBD)\), son vecteur directeur \(\vec{AG}(12; 18; 6)\) devrait être colinéaire au vecteur normal du plan \(\vec{n}(3; 2; 6)\). On vérifie s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{AG} = k \vec{n}\). En comparant les coordonnées, on a \(12 = 3k \implies k=4\), mais \(18 = 2k \implies k=9\). Comme les valeurs de \(k\) sont différentes, les vecteurs ne sont pas colinéaires. La droite \((AG)\) n'est donc pas orthogonale au plan \((EBD)\).

• Question 4 : Alignement de points

  a) On doit démontrer que les points \(B\), \(K\) et \(M\) sont alignés, avec \(M\) le milieu du segment \([ED]\). On calcule d'abord les coordonnées de \(M\) : \(M(\frac{0+0}{2}; \frac{18+0}{2}; \frac{0+6}{2}) = M(0; 9; 3)\).
  Ensuite, on forme les vecteurs \(\vec{BK}\) et \(\vec{BM}\) :
  \(\vec{BK}(4-12; 6-0; 2-0) = (-8; 6; 2)\)
  \(\vec{BM}(0-12; 9-0; 3-0) = (-12; 9; 3)\)
  On observe que \(\vec{BM} = 1.5 \times \vec{BK}\). Les vecteurs sont colinéaires, donc les points \(B, K, M\) sont alignés.

  b) Pour construire le point \(K\), il suffit de tracer le segment \([ED]\), de placer son milieu \(M\), puis de tracer la droite \((BM)\). Le point \(K\) est l'intersection de la grande diagonale \((AG)\) et de la droite \((BM)\).

• Question 5 : Intersection de plans et parallélisme

  Cette question fait appel au théorème du toit. On a un plan \(\mathcal{P}\) passant par \(K\) et parallèle au plan \((ADE)\). On cherche l'intersection de \(\mathcal{P}\) avec le plan \((EBD)\).
  - Les plans \(\mathcal{P}\) et \((EBD)\) sont sécants (car \((EBD)\) n'est pas parallèle à \((ADE)\)). - Le plan \(\mathcal{P}\) est parallèle à \((ADE)\). - La droite \((ED)\) est contenue à la fois dans \((EBD)\) et \((ADE)\). D'après le théorème du toit, la droite d'intersection des plans \(\mathcal{P}\) et \((EBD)\) est une droite passant par leur point commun \(K\) et parallèle à la droite d'intersection des plans \((ADE)\) et \((EBD)\), c'est-à-dire la droite \((ED)\).