8. Calculer un angle en utilisant le produit scalaire

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une technique qui vous permet de calculer dans une figure un angle en utilisant deux produits scalaires différents. C'est littéralement ceux qui tombent au contrôle. On s'y met.

Exercice

Alors, dans cet exercice, on me demande l'angle CES AG. En fait, tu dois le représenter. C'est assez la tête quand on me demande cet angle ici. Pour calculer cet angle, on veut utiliser un produit scalaire qui fait intervenir cet angle là. Donc par exemple, on va calculer le produit scalaire de AC et AG et on va le calculer de deux manières différentes. On va dire que AC est égal à AG et on va utiliser la formule des normes. Donc, ces normes sont égales à \( \text{norme de AC} \times \text{norme de AG} \times \cos(\text{angle qu'on recherche}) \). Mais c'est aussi une fois qu'on a calculé les coordonnées de AC et les coordonnées de AG, la formule des coordonnées qui nous donne \( x_{AC} \times x_{AG} + y_{AC} \times y_{AG} + z_{AC} \times z_{AG} \). Maintenant, regardons. Si je prends ce bloc là, cette égalité ici, ce bout là je le connais, je peux le calculer très facilement avec les coordonnées de AC et AG que j'ai déjà calculé en utilisant la formule de la racine des coordonnées. Ce bout-là, je le connais et du coup je me retrouve avec une équation où j'ai plus que ça comme inconnu. Donc je vais isoler mon cosinus en passant tout ça de l'autre côté et j'aurai la valeur du cosinus de l'angle. Et avec ma calculatrice et la formule arccos, soit les formules de cosinus que je connais, c'est à dire pour les angles \(\pi/4\), \(\pi/3\) et \(\pi/6\), je vais pouvoir trouver la valeur de mon angle.

Solution

Allez, on se fait tout de suite en calculant les coordonnées de AC. Donc on va aller très vite là-dessus parce que ce n'est pas l'objet de cette vidéo. On a fait des vidéos sur comment calculer les coordonnées d'un vecteur. Allez les voir et faites les petits exercices pour vous entraîner. Les coordonnées de AC dans la base AB à D sont \(1, 1, 0\). Les coordonnées de AG sont \(1, 1, 1\). Donc j'ai les coordonnées de ces deux vecteurs. Je vais commencer par calculer la norme de AC qui est \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). La norme de AG est \(\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). Donc, \(\cos(\text{angle}) = \frac{x_{AC} \times x_{AG} + y_{AC} \times y_{AG} + z_{AC} \times z_{AG}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}\). En simplifiant, on obtient \(\cos(\text{angle}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). En utilisant la calculatrice, on obtient une valeur approximative de 35 degrés pour l'angle. Voilà comment on utilise le produit scalaire pour calculer des angles dans les exercices. En réalité, ce qu'on va faire, c'est qu'on va vous demander de calculer le produit scalaire d'une première manière. Ensuite, on va vous demander de donner l'expression du produit scalaire en fonction des angles et des longueurs. Enfin, on va vous demander d'en déduire la valeur de l'angle. Mais vous savez le faire. Je calcule une première fois, je calcule une deuxième fois, je sais que ça je peux calculer, ça je peux calculer, ça je peux calculer et je cherche ça. Mais je l'isole en envoyant tout ça de l'autre côté et un petit coup de calculatrice et c'est fait. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous. C'est littéralement ce qui tombe au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.