6. Équation cartésienne d'un plan dans l'espace (à partir du vecteur normal)

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir le cas le plus simple : comment donner l'équation cartésienne d'un plan quand on vous a donné un vecteur normal et un point de passage. On va se le faire en deux parties : la technique brute où on ne comprend pas ce qu'on fait et on applique bêtement la formule du cours, et une technique où on comprend ce qu'on fait en utilisant un produit scalaire.

Technique brute

L'équation cartésienne d'un plan est une équation de la forme \(AX + BY + CZ + D = 0\). Donc on s'attend à avoir \(AX + BY + CZ + D = 0\). Pour trouver les valeurs des nombres qui nous intéressent \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\), on va utiliser deux choses : le vecteur normal et le point de passage. Quand vous avez un plan, un vecteur normal à ce plan est un vecteur qui est perpendiculaire au plan. Les coordonnées du vecteur normal sont les coordonnées que vous allez retrouver ici \(A\), \(B\) et \(C\). Donc si mon vecteur normal à moi c'est \(1, 2\) et \(3\), ce que je vais avoir devant \(X\), \(Y\) et \(Z\) ça va être \(1\), \(2\) et \(3\). Donc je vais avoir \(X + 2Y + 3Z + D = 0\). Comment est-ce que je trouve la valeur de \(D\)? Je sais que le point \(A\) est sur la droite donc je sais que j'ai le droit de remplacer \(X\), \(Y\) et \(Z\) par les coordonnées de \(A\), c'est à dire par \(0, 0, 1\). Donc j'ai le droit de dire que \(0 + 2 \times 0 + 3 \times 1 + D = 0\) et cette équation là me permet de trouver \(D\). En effet, \(D = -3\). Donc ce que je peux mettre ici c'est \(-3\).

Technique du produit scalaire

Prenons un point \(M\) qui est quelque part sur ce plan et ce point on va l'appeler \(X, Y, Z\). Si le point \(M\) est sur le plan, ça veut dire que le vecteur \(AM\) est perpendiculaire au vecteur \(N\). En effet, le vecteur \(N\) est perpendiculaire au plan donc il est perpendiculaire à tous les vecteurs de ce plan, notamment \(AM\). Les coordonnées du vecteur \(AM\) sont \(X - 0, Y - 0, Z - 1\). Et je sais que ce vecteur est perpendiculaire au vecteur \(N\) qui est le vecteur \(1, 2, 3\). Si ces deux vecteurs sont perpendiculaires, je peux le caractériser par le produit scalaire. Donc je sais que \(X \times 1 + Y \times 2 + Z \times 3 = 0\). Si je développe, ça me fait \(X + 2Y + 3Z - 3 = 0\) et je retrouve bien ce que j'avais trouvé ici. Dans le cas du plan, l'équation cartésienne se retrouve avec un produit scalaire de la même manière que dans le cas de la droite, l'équation paramétrique se trouve avec une colinéarité. On vous a mis des exercices en dessous, j'ai vraiment envie que vous compreniez les deux techniques parce que les deux servent en contrôles et qu'en fonction de votre prof, vous allez amener à utiliser plutôt cela ou plutôt directement celle-là. Vous êtes des champions!