Ce document présente un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité. Il s'agit d'une évaluation complète de 2 heures portant sur les chapitres fondamentaux des suites numériques et du raisonnement par récurrence. Ce sujet est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner et approfondir leur compréhension des concepts clés avant un examen ou le baccalauréat. Chaque exercice est conçu pour tester des compétences spécifiques, allant de la conjecture à la démonstration rigoureuse, en passant par l'algorithmique.

Les thèmes abordés incluent les suites adjacentes, les suites récurrentes du type \( u_{n+1} = f(u_n) \), l'application du théorème de la convergence monotone et l'utilisation de suites auxiliaires pour simplifier l'étude. Une attention particulière est demandée sur la qualité de la rédaction, un critère essentiel en mathématiques.

Exercice 1 : Étude de deux suites entremêlées (7 points)

Cet exercice introduit deux suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) définies par un système de relations de récurrence croisées :

• \( a_0 = 1 \) et \( b_0 = 7 \)
• \( a_{n+1} = \frac{1}{3}(2a_n + b_n) \)
• \( b_{n+1} = \frac{1}{3}(a_n + 2b_n) \)

L'objectif est d'étudier leur comportement et de déterminer leur limite. Pour cela, le sujet guide l'élève à travers plusieurs étapes stratégiques.

• Question 1 : Utilisation de la calculatrice pour émettre une conjecture sur le sens de variation et la convergence des deux suites.
• Question 2 : Introduction d'une suite auxiliaire \( u_n = b_n - a_n \). Il est demandé de prouver que \( (u_n) \) est une suite géométrique, d'en déterminer la raison et le premier terme, puis d'exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \) et de calculer sa limite. Cette étape est cruciale car la limite de \( u_n \) (qui est 0) prouve que les suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) auront la même limite.
• Question 3 : Comparaison des termes \( a_n \) et \( b_n \) et étude du sens de variation de chaque suite. On montre typiquement que l'une est croissante et l'autre décroissante.
• Question 4 : Démonstration de la convergence des deux suites, en s'appuyant sur le fait qu'elles sont monotones et bornées (l'une par l'autre). On établit qu'elles sont adjacentes.
• Question 5 : Introduction d'une seconde suite auxiliaire \( v_n = b_n + a_n \). L'élève doit démontrer que \( (v_n) \) est une suite constante, une propriété qui simplifie grandement le calcul final.
• Question 6 : Utilisation des résultats précédents (\( \lim(b_n - a_n) = 0 \) et \( b_n + a_n = constante \)) pour former un système d'équations et trouver la limite commune des suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \).

Exercice 2 : Étude d'une suite récurrente \( u_{n+1} = f(u_n) \) (7 points)

Le second exercice se concentre sur un cas d'étude classique en Terminale : une suite définie par une relation de récurrence de la forme \( u_{n+1} = f(u_n) \). La fonction associée est un polynôme du second degré \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2} \) et la suite \( (u_n) \) est définie par \( u_0 = a \), où \( a \) est un réel positif. L'exercice explore le comportement de la suite pour différentes valeurs initiales.

• Question 1 : Phase de conjecture à la calculatrice pour deux valeurs de \( a \) (2,9 et 3,1), illustrant comment la valeur initiale peut drastiquement changer le comportement de la suite (convergence vers une limite finie ou divergence).
• Question 2 : Recherche des limites potentielles de la suite. En supposant que la suite converge vers une limite \( l \), on utilise la continuité de \( f \) pour montrer que \( l \) doit être un point fixe de la fonction, c'est-à-dire une solution de l'équation \( l = f(l) \). La résolution de cette équation du second degré donne les seules valeurs possibles pour la limite.
• Question 3 : Étude détaillée du cas \( a = 2,9 \). Il faut d'abord étudier le sens de variation de \( f \), puis démontrer par récurrence que la suite est décroissante et minorée. Ces deux propriétés permettent d'appliquer le théorème de la convergence monotone pour conclure que la suite converge, et sa limite est l'un des points fixes trouvés précédemment.
• Question 4 : Étude du cas \( a = 3,1 \). On admet que la suite est croissante. L'objectif est de montrer qu'elle n'est pas majorée (souvent par l'absurde) et donc qu'elle diverge vers \( +\infty \). L'exercice se termine par une question d'algorithmique, où il faut compléter un algorithme (boucle "Tant que") qui détermine le plus petit entier \( p \) tel que \( u_p \) dépasse un seuil donné (\( 10^6 \)).

Exercice 3 : Un autre exemple de suites adjacentes (6 points)

Ce dernier exercice propose l'étude de deux suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) définies à partir de deux réels \( a \) et \( b \) tels que \( 0 < a < b \). Les relations de récurrence sont \( u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \) (moyenne arithmétique) et une autre relation pour \( v_{n+1} \) qui est clarifiée par une identité à démontrer. Cet exercice est une variation sur le thème des suites adjacentes.

• Question 1 : Une première démonstration par récurrence simple pour s'assurer que les termes des deux suites restent strictement positifs.
• Questions 2 et 3 : Établissement d'une égalité clé (\( v_{n+1}^2 - u_{n+1}^2 = (\frac{v_n - u_n}{2})^2 \)) par le calcul, puis déduction que \( u_n \leq v_n \) pour tout \( n \).
• Questions 4 et 5 : Étude du sens de variation des deux suites. En utilisant l'inégalité \( u_n \leq v_n \), on démontre que \( (u_n) \) est croissante et que \( (v_n) \) est décroissante.
• Question 6 : La convergence des deux suites est établie grâce au théorème de la convergence monotone : \( (u_n) \) est croissante et majorée (par \( v_0 \)), et \( (v_n) \) est décroissante et minorée (par \( u_0 \)).
• Question 7 : Calcul des limites. L'identité de la question 2 permet de montrer que la limite de \( v_n^2 - u_n^2 \) est 0, ce qui implique que \( \lim u_n = \lim v_n \). Les suites sont donc bien adjacentes et convergent vers une même limite.