Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Terminale Spécialité : Fonctions, Suites et Dénombrement

Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de bac blanc de mathématiques pour les élèves de Terminale spécialité. Ce contrôle, d'une durée de 2 heures, porte sur plusieurs chapitres clés du programme : l'étude de fonctions, les suites numériques et le dénombrement. Idéal pour s'entraîner et réviser avant les épreuves finales.

Exercice 1 : Étude complète d'une fonction rationnelle (7 points)

Cet exercice est une analyse de fonction classique et complète, essentielle pour maîtriser le chapitre sur la dérivation et les limites. On étudie la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \frac{2x^2 - 4x + 5}{x^2 + 1} \). La courbe représentative \( C_f \) et sa tangente \( T_0 \) au point d'abscisse 0 sont fournies.

• Antécédents : La première question demande de trouver par le calcul les antécédents de 1, ce qui revient à résoudre l'équation \( f(x) = 1 \).
• Dérivation : Il faut ensuite justifier la dérivabilité de la fonction sur \( \mathbb{R} \) et démontrer une expression donnée de la dérivée \( f'(x) \). C'est l'occasion d'appliquer la formule de dérivation d'un quotient. On calcule également le nombre dérivé en 0, \( f'(0) \), et on en donne une interprétation graphique (coefficient directeur de la tangente \( T_0 \)).
• Limites et asymptotes : L'étude se poursuit avec la détermination des limites de \( f \) en \( +\infty \) et \( -\infty \). L'interprétation graphique de ces limites permet d'identifier une asymptote horizontale à la courbe \( C_f \).
• Tableau de variations : À partir du signe de la dérivée \( f'(x) \), on dresse le tableau de variations complet de la fonction \( f \), faisant apparaître les extrema locaux.
• Équation de tangente et intersection : La dernière partie consiste à trouver l'équation de la tangente \( T_0 \) à la courbe au point d'abscisse 0, puis à déterminer les coordonnées des points d'intersection entre cette tangente et la courbe \( C_f \), ce qui mène à la résolution d'une équation.

Exercice 2 : Dénombrement avec un jeu de cartes (3 points)

Cet exercice aborde les bases du dénombrement dans un contexte ludique de jeu de cartes. Il s'agit de compter différentes configurations de tirages et d'arrangements.

• Combinaisons : La première question porte sur le calcul du nombre de "mains" de 8 cartes possibles à partir d'un jeu de 32 cartes. Il s'agit d'un tirage simultané, on utilise donc les combinaisons \( \binom{32}{8} \).
• Principe multiplicatif : La deuxième question complexifie la situation avec deux joueurs qui piochent successivement. On applique ici le principe multiplicatif pour déterminer le nombre total de tirages possibles pour la partie.
• Permutations : La dernière question demande de calculer le nombre de manières de ranger 8 cartes distinctes. C'est un problème classique de permutation qui se résout avec les factorielles.

Exercice 3 : Étude d'une suite récurrente (7 points)

Cet exercice très complet est un excellent entraînement sur le chapitre des suites. On étudie la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = \frac{1}{2} \) et la relation de récurrence \( u_{n+1} = \frac{3u_n}{1 + 2u_n} \).

• Raisonnement par récurrence : Une question centrale de l'exercice est de démontrer par récurrence que la suite est croissante et majorée par 1, en utilisant les propriétés de la fonction associée \( f(x) = \frac{3x}{1 + 2x} \).
• Convergence : En se basant sur la question précédente, on applique le théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone) pour prouver que la suite \( (u_n) \) est convergente.
• Suite auxiliaire : Pour trouver la forme explicite de \( (u_n) \), on introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = \frac{u_n}{1 - u_n} \). On démontre que cette suite est géométrique, ce qui permet de trouver son expression en fonction de \( n \).
• Forme explicite et limite : Grâce à l'expression de \( v_n \), on en déduit celle de \( u_n \). Le calcul de la limite de \( (u_n) \) devient alors direct. La question bonus propose une méthode alternative pour trouver la limite en résolvant l'équation du point fixe \( f(x) = x \).

Exercice 4 : Dénombrement et probabilités (3 points)

Le dernier exercice revient sur le dénombrement dans le cadre d'un tirage simultané de boules dans une urne, avant de conclure sur un calcul de probabilité simple.

• Tirages possibles : On commence par calculer le nombre total de tirages de 3 boules parmi 10, ce qui correspond au cardinal de l'univers.
• Dénombrement d'événements : On compte ensuite le nombre de tirages correspondant à des événements spécifiques : obtenir 3 boules noires, ou obtenir 3 boules de couleurs différentes. Ces questions sont des applications directes du calcul de combinaisons.
• Calcul de probabilité : L'exercice se termine par le calcul de la probabilité d'un événement ("obtenir trois boules de la même couleur"), en utilisant le principe additif et la formule de probabilité dans un cas d'équiprobabilité : \( P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \).