Introduction
Salut à tous, nous allons démontrer par récurrence qu'une suite est positive ou négative. Si vous avez vu la vidéo précédente sur comment démontrer qu'une suite est majorée ou minorée, vous verrez que c'est exactement la même chose. Dans cette vidéo, nous allons travailler avec une suite qui est définie de manière explicite, c'est-à-dire directement en fonction de \(n\).
Partie 1 : Analyse de l'énoncé
Nous cherchons trois choses : ce que nous devons démontrer, où nous devons le démontrer et comment nous devons le démontrer. Nous devons démontrer que \(q_n\) est strictement positif pour tout \(n\) plus grand que trois. Votre initialisation ne se fera pas à zéro, ce sera pour \(n\) égal à trois.
Partie 2 : Démonstration par récurrence
La première étape est de définir \(P_n\), qui est ce que nous voulons démontrer. Donc, \(P_n\) est que \(u_n\) est strictement plus grand que zéro.
Initialisation
Nous voulons démontrer notre propriété pour tout \(n\) plus grand que trois. Donc, nous allons vérifier si \(P_3\) est vrai. \(P_3\) est vrai car \(Q_3\) est plus grand que zéro. En effet, \(Q_3 = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5\), qui est bien plus grand que zéro.
Hérédité
Supposons qu'il existe un entier \(n\) tel que \(P_n\) soit vrai. Nous devons montrer que \(P_{n+1}\) est vrai aussi. Notre point de départ est \(u_n > 0\) et notre point d'arrivée est \(u_{n+1} > 0\).
Nous commençons par écrire que \(2^{n+1} - 3 > 0\). Ensuite, nous remplaçons \(u_n\) par son expression en fonction de \(n\), ce qui donne \(2^n - 3 > 0\). Pour passer de \(2^n\) à \(2^{n+1}\), nous multiplions par deux. Cela donne \(2(2^n - 3) > 0\), qui se simplifie en \(2^{n+1} - 6 > 0\).
En ajoutant trois de chaque côté, nous obtenons \(2^{n+1} - 3 > 3\). Cela signifie que \(u_{n+1}\) est plus grand que trois. Or, si \(u_{n+1}\) est plus grand que trois, il est forcément plus grand que zéro. Donc, nous avons réussi à démontrer l'hérédité.
Conclusion
Nous pouvons conclure que \(P_n\) est vrai pour tout \(n\) plus grand que trois car \(P_3\) est initialisé et \(P_n\) est héréditaire. Nous vous encourageons à vous entraîner avec des exercices similaires. Bonne chance !