Contrôle corrigé sur les Suites, la Récurrence et la Convexité - Terminale Spécialité

Ce sujet de mathématiques pour la classe de Terminale, spécialité maths, est une évaluation complète sur les chapitres des suites numériques, du raisonnement par récurrence, et de l'étude de fonctions avec un focus sur la dérivation et la convexité. D'une durée de 1h50, ce contrôle couvre un large éventail de compétences essentielles pour le baccalauréat. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque exercice.

Exercice 1 : Calcul de limites de suites

Cet exercice est une mise en application directe des techniques de calcul de limites pour les suites. Trois cas différents sont proposés pour évaluer la maîtrise des formes indéterminées.

• Question a : Calcul de la limite de \(u_n = n^2 + \sqrt{n}\). Il s'agit d'une limite par somme où les deux termes tendent vers l'infini, un cas simple de détermination de limite.
• Question b : Calcul de la limite de \(u_n = \frac{1 - 6n^4}{5n^6 + 2n^2 + 1}\). Cet exemple présente une forme indéterminée de type "\(\infty/\infty\)". La méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.
• Question c : Calcul de la limite de \(u_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n+2}}\). Ici, le dénominateur tend vers une forme indéterminée "\(\infty - \infty\)". La technique requise est l'utilisation de l'expression conjuguée pour transformer l'expression et simplifier le calcul.

Exercice 2 : Vrai ou Faux avec justification

Cet exercice teste la capacité de raisonnement et de justification sur des affirmations variées, mêlant suites et analyse graphique.

• Affirmation 1 : Convergence de la suite \(u_n = \frac{1 + 5^n}{2 + 3^n}\). Il faut analyser le comportement de la suite à l'infini en factorisant par les termes prépondérants (\(5^n\) et \(3^n\)) pour déterminer sa vraie limite, qui n'est pas celle proposée.
• Affirmation 2 : Minoration de la suite définie par récurrence \(w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3\). L'affirmation \(w_n \geq n\) se démontre rigoureusement à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
• Affirmation 3 : Comportement de la suite \(u_n = (x - 1)e^n + \cos(n)\) pour \(x \in [0; 1[\). L'étude de la limite de cette suite repose sur le théorème de comparaison, en notant que le terme \(\cos(n)\) est borné tandis que \((x-1)e^n\) tend vers \(-\infty\).
• Affirmation 4 : Convexité d'une fonction à partir de son graphique. Il s'agit d'interpréter graphiquement la notion de convexité. On observe la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Une fonction est convexe si sa courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes, ce qui semble être le cas ici.

Exercice 3 : Étude complète d'une suite

Cet exercice est une étude approfondie d'une suite homographique \(u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n + 8}\), divisée en deux parties : une étude générale et la recherche d'une expression explicite.

• Partie A : On commence par démontrer par récurrence que la suite est positive. Ensuite, on étudie son sens de variation en analysant le signe de \(u_{n+1} - u_n\). Finalement, en utilisant le théorème de la limite monotone (une suite décroissante et minorée converge), on justifie sa convergence.
• Partie B : On introduit une suite auxiliaire \(v_n = 1 + \frac{7}{u_n}\). Le but est de prouver que \((v_n)\) est une suite géométrique, d'en déduire son expression explicite en fonction de \(n\), puis de revenir à l'expression de \(u_n\) pour enfin calculer sa limite.

Exercice 4 : Étude de fonction, convexité et tangente

Cet exercice se concentre sur l'analyse complète d'une fonction \(g(x) = (6 - x^2)e^{-2x}\).

• Question 1 & 2 : Il faut calculer la dérivée première \(g'(x)\) en utilisant la formule de dérivation d'un produit, puis étudier son signe pour dresser le tableau de variations complet de \(g\).
• Question 3 : L'étude de la convexité de la fonction \(g\) passe par le calcul de la dérivée seconde \(g''(x)\) et l'étude de son signe. Les points d'inflexion sont les points où la convexité change.
• Question 4 & 5 : On détermine l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Puis, en se servant des résultats sur la convexité, on étudie la position relative de la courbe par rapport à cette tangente sur un intervalle donné.

Exercice 5 : Raisonnement par récurrence sur une somme

Ce dernier exercice est une application directe du raisonnement par récurrence pour démontrer une formule de somme. Il s'agit de prouver que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la somme \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+2)}\) est égale à \(\frac{n}{2(n+2)}\). C'est un excellent exercice pour maîtriser la rédaction et la logique de l'hérédité dans une preuve par récurrence.