Introduction
Allez les amis, on est partis pour voir comment calculer un produit scalaire dans l'espace en utilisant la première technique : les coordonnées. On s'y met tous pour calculer un produit scalaire dans l'espace. Par exemple, \(AB \cdot AF\) avec les coordonnées, c'est quasiment la même formule que celle que vous utilisiez en première pour calculer un produit scalaire dans le plan.
Calcul du produit scalaire
On va prendre notre vecteur \(AB\), on va trouver ses coordonnées, on va prendre notre vecteur \(AF\), on va trouver ses coordonnées et on va faire la première coordonnée de \(AB\) multipliée par la première coordonnée de \(AF\), plus la deuxième coordonnée de \(AB\) multipliée par la deuxième coordonnée de \(AF\), plus la troisième coordonnée de \(AB\) multipliée par la troisième coordonnée de \(AF\). C'est ça la nouveauté de l'espace, c'est que au lieu d'avoir une et deux coordonnées comme dans le plan, on a une, deux, trois coordonnées vu qu'on a une, deux et trois dimensions.
Exemple d'exercice
Alors pour cet exercice, j'avais mis un petit cube et je demande de faire \(AB \cdot AF\). Donc pour calculer les coordonnées des vecteurs, vous avez plusieurs options. La première option, celle qu'on va faire pour \(AB\), c'est celle qui consiste à trouver une base. Donc par exemple, la base \(AB\), \(AE\), \(AD\) est une base parce que ces trois vecteurs \(AB\), \(AE\) et \(AD\) sont linéairement indépendants, c'est à dire qu'ils ne sont pas dans le même plan.
Et on va calculer les coordonnées de chacun des points dans la base \(A\), c'est à dire la base dont l'origine est \(A\) qui est dirigée par le vecteur \(AB\), le vecteur \(AE\) et le vecteur \(AD\). Attention, quand vous faites les coordonnées dans une base, vous n'avez nullement besoin que la base soit orthonormée. Tout ce qu'on veut c'est que ce soit une base.
Donc dans ma base \(AB\), \(AE\), \(AD\), le point le plus facile à trouver c'est le point \(A\). Quand je pars de \(A\), je fais 0 fois \(AB\), 0 fois \(AE\) et 0 fois \(AD\), donc c'est \(0, 0, 0\). Les coordonnées du point \(B\) sont pour aller au point \(B\), je pars du point \(A\), je fais une fois le vecteur \(AB\), une fois \(AE\) et une fois \(AD\), donc c'est \(1, 1, 1\).
Et maintenant que j'ai les coordonnées de \(A\) et \(B\), je peux calculer les coordonnées du vecteur \(AB\) comme la formule le stipule ici, c'est celle de \(B\) - celle de \(A\). Donc \(1 - 0\), \(1 - 0\), \(1 - 0\) ça fait \(1, 1, 1\).
Pour le vecteur \(AF\), pour aller de \(A\) à \(F\), qu'est-ce que je dois faire comme chemin en utilisant ces trois vecteurs de base ? Pour aller du point \(A\) au point \(F\), j'ai commencé par faire \(AB\), ensuite arrivé au point \(B\), je vais faire \(BF\) sauf que \(BF\) c'est pas pareil que \(AE\). Donc au final, j'aurais fait une fois \(AB\) et une fois \(AE\), donc mes coordonnées sont une fois \(AB\), une fois \(AE\) et 0 fois mon vecteur \(AD\).
Et maintenant je peux faire un produit scalaire. Quand je fais \(1 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 0\), ça me fait \(1 + 1 + 0 = 2\). Donc dans le cube de côté 1 avec les coordonnées des points qui sont celles qu'on a donné là, le produit scalaire de \(AB\) et de \(AF\) vaut tout simplement 2.
On vous a mis des exercices en dessous. Le plus dur dans ces calculs de produits scalaires avec les coordonnées n'est en général pas tellement de calculer le produit scalaire, mais de trouver les coordonnées. Vous allez voir qu'on commence avec des exercices où on vous donne les coordonnées et d'autres exercices où il faut les trouver. À vous de jouer, vous êtes des champions !