Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité, accompagné d'une analyse détaillée des compétences évaluées. Centré sur les chapitres fondamentaux des suites numériques et du raisonnement par récurrence, ce sujet est un excellent outil de préparation au baccalauréat. Il aborde des notions clés telles que les suites arithmético-géométriques, l'étude de suites définies par une relation de récurrence du type \(u_{n+1} = f(u_n)\), et la maîtrise de la démonstration par récurrence.
Exercice 1 : Maîtrise du raisonnement par récurrence
L'exercice introductif est un classique du chapitre sur la récurrence. On considère une suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0 = 2\) et la relation de récurrence \(u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n + \frac{1}{3}n + 1\). La tâche consiste à démontrer par récurrence que l'expression explicite de la suite est \(u_n = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n + n\) pour tout entier naturel \(n\).
- Initialisation : Vérifier que la formule est vraie pour le rang initial, ici \(n=0\).
- Hérédité : Supposer que la propriété est vraie pour un certain rang \(n\) (hypothèse de récurrence) et démontrer qu'elle reste vraie pour le rang suivant, \(n+1\). Cette étape teste la capacité à manipuler les expressions algébriques et à utiliser correctement l'hypothèse de récurrence.
- Conclusion : Conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\) selon le principe de récurrence.
Cet exercice évalue directement la compétence "Montrer par récurrence l'expression explicite d'une suite à partir de l'expression récurrente".
Exercice 2 : Étude d'une suite arithmético-géométrique
Le deuxième exercice se concentre sur les suites arithmético-géométriques, un type de suite fréquemment rencontré en Terminale. La suite \((v_n)\) est définie par \(v_0 = -\frac{7}{4}\) et \(v_{n+1} = \frac{8}{7}v_n - 5\). Pour en faciliter l'étude, on introduit une suite auxiliaire \((w_n)\) définie par \(w_n = 2v_n - 70\).
Les étapes de résolution sont les suivantes :
- Démontrer que \((w_n)\) est une suite géométrique : Il s'agit de calculer \(w_{n+1}\) en fonction de \(w_n\) pour montrer qu'il existe une raison \(q\) constante. Cette question teste la capacité à substituer et à factoriser pour faire apparaître la forme \(w_{n+1} = q \cdot w_n\).
- Déterminer l'expression explicite : Une fois la nature de \((w_n)\) établie, on en déduit son expression explicite en fonction de \(n\). En utilisant la relation \(w_n = 2v_n - 70\), on exprime ensuite \(v_n\) en fonction de \(n\).
- Étudier le sens de variation : La dernière question demande de déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\). Cela peut se faire en étudiant le signe de \(v_{n+1} - v_n\) ou en analysant l'expression explicite de \(v_n\), notamment en considérant la valeur de la raison de la suite géométrique auxiliaire.
Cet exercice mobilise les compétences "Suite arithmético-géométrique" et "Démontrer qu'une suite est géométrique".
Exercice 3 : Analyse complète d'une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\)
L'exercice le plus conséquent du contrôle porte sur l'étude approfondie d'une suite définie par une fonction. La suite \((u_n)\) est initialisée par \(u_0 = 0\) et vérifie la relation \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec la fonction homographique \(f(x) = \frac{-x-4}{x+3}\). L'objectif est de déterminer son sens de variation par différentes méthodes.
- Approche graphique : La première question demande de représenter graphiquement les premiers termes de la suite en utilisant la courbe de \(f\) et la droite d'équation \(y=x\). Cette construction "en escalier" permet de formuler une conjecture sur la variation et la convergence de la suite.
- Étude de la fonction \(f\) : Pour lier les propriétés de la fonction à celles de la suite, il est demandé de démontrer que \(f\) est strictement croissante. Cela passe par le calcul de la dérivée \(f'(x)\) et l'étude de son signe.
- Démonstration par récurrence : Le cœur de l'exercice réside dans une démonstration par récurrence double : prouver que pour tout \(n \ge 0\), la suite est à la fois bornée et décroissante, c'est-à-dire \(-2 < u_{n+1} < u_n\). Cette question complexe met en jeu la maîtrise de la récurrence et l'utilisation de la croissance de la fonction \(f\). La conclusion attendue est l'application du théorème de la limite monotone qui stipule qu'une suite décroissante et minorée converge.
- Méthode algébrique : Une seconde méthode est proposée pour étudier la variation, en calculant directement la différence \(u_{n+1} - u_n\) et en montrant qu'elle est égale à \(-\frac{(u_n+2)^2}{u_n+3}\). L'étude du signe de cette expression permet de retrouver le sens de variation.
Cet exercice est très complet et évalue un large spectre de compétences, notamment "Récurrence et étude de fonction", "Montrer par récurrence qu'une suite est majorée/minorée", "Montrer par récurrence qu'une suite est croissante/décroissante" et "Déterminer une limite avec le théorème de la limite monotone".
Bonus : Une récurrence sur un produit
Le bonus propose de démontrer par récurrence une égalité impliquant le symbole produit \(\Pi\). Il faut prouver que pour tout entier \(n \ge 2\), on a \(\prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{n+1}{2n}\). C'est un excellent test de la maîtrise technique du raisonnement par récurrence dans un contexte moins habituel.