Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale Spécialité. Ce contrôle complet, d'une durée de 4 heures, est une excellente préparation à l'épreuve finale du baccalauréat. Il aborde des chapitres essentiels du programme : probabilités conditionnelles, loi binomiale, étude de fonctions (polynôme, exponentielle) et analyse de suites numériques, notamment via le raisonnement par récurrence. Ce corrigé pas à pas vous aidera à maîtriser les compétences clés et à perfectionner votre rédaction.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale (6 points)

Cet exercice de probabilités s'articule autour d'un contexte concret : la détection d'une maladie chez des coyotes. Il est divisé en deux parties qui permettent de balayer l'ensemble du chapitre.

• Partie A : On modélise la situation à l'aide des événements \(M\) (« le coyote est malade ») et \(T\) (« le test est positif »). La première étape consiste à construire un arbre pondéré à partir des données de l'énoncé (\(P(M)\), \(P(T|M)\) et \(P(\bar{T}|\bar{M})\)). Par la suite, on calcule la probabilité d'une intersection \(P(M \cap T)\). Une question clé est l'application de la formule des probabilités totales pour démontrer que \(P(T) = 0,694\). L'exercice introduit ensuite la notion de "valeur prédictive positive", qui n'est autre que la probabilité conditionnelle \(P(M|T)\). Le calcul de cette valeur nécessite d'inverser l'arbre de probabilités, une compétence fondamentale. On applique le même raisonnement pour la "valeur prédictive négative" \(P(\bar{M}|\bar{T})\).
• Partie B : Cette partie bascule vers une situation de répétition d'épreuves identiques et indépendantes. On capture 5 coyotes, ce qui est assimilé à un tirage avec remise. Il faut alors justifier que la variable aléatoire \(X\), comptant le nombre de coyotes au test positif, suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) en précisant ses paramètres \(n=5\) et \(p=P(T)\). Les questions suivantes portent sur le calcul de probabilités binomiales comme \(P(X=1)\) ou \(P(X \ge 4)\). L'exercice se conclut par un problème classique : déterminer le nombre minimal d'essais \(n\) nécessaire pour que la probabilité d'obtenir au moins un succès, \(P(X \ge 1)\), dépasse un seuil de 0,99.

Exercice 2 : Étude de Fonctions et Modélisation (6 points)

Ce second exercice est un problème d'analyse complet. Il se concentre sur l'étude de deux fonctions, l'une polynomiale et l'autre impliquant la fonction exponentielle, puis sur leur application à la modélisation de la trajectoire d'une balle de golf.

• Partie A : Étude de deux fonctions. On étudie d'abord \(f(x) = 0,05 (-x^2 + 13,4x)\) et \(g(x) = (-0,16x + 2,3) e^{0,2x} - 2,3\) sur \([0; +\infty[\). Pour chaque fonction, il faut déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition, calculer la fonction dérivée (notamment pour \(g\), qui est un produit avec une fonction exponentielle), et dresser le tableau de variations complet. Ces étapes permettent de trouver les extremums des fonctions, qui correspondront aux hauteurs maximales dans l'application.
• Partie B : Trajectoires d'une balle de golf. Les fonctions \(f\) et \(g\) sont utilisées comme modèles. Un point crucial de cette partie est l'interprétation géométrique du nombre dérivé. On définit l'« angle de décollage » comme l'angle de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. Sa mesure \(d\) est telle que \(\tan(d)\) est égal au coefficient directeur de la tangente, c'est-à-dire \(f'(0)\) (ou \(g'(0)\)). De même pour l'« angle d'atterrissage ». Cette partie évalue la capacité à faire le lien entre le calcul de dérivation et une application concrète.
• Partie C : Interrogation des modèles. On compare les résultats théoriques obtenus avec les deux modèles (hauteur maximale, angles) à des données expérimentales pour juger de la pertinence de chaque modélisation. C'est un excellent exemple de la démarche de modélisation en mathématiques.

Exercice 3 : Suites Numériques et Raisonnement par Récurrence (8 points)

Ce dernier exercice, très dense, est consacré à l'étude d'une suite récurrente de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f(x) = kx(1-x)\), pour différentes valeurs du paramètre \(k\).

• Partie 1 : Avec \(k=1.9\), on étudie la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = 1.9u_n(1-u_n)\). L'étude des variations de la fonction associée \(f\) est la première étape. Un point clé est la démonstration par récurrence d'une inégalité complexe, \(0 \le u_n \le u_{n+1} \le 1/2\), qui prouve à la fois que la suite est croissante et majorée. Cette question est un parfait exemple de récurrence couplée à une étude de fonction. On en déduit la convergence de la suite grâce au théorème de la limite monotone. La limite est ensuite trouvée en résolvant l'équation du point fixe \(f(l)=l\).
• Partie 2 : Avec \(k=1/2\), on admet l'encadrement \(0 \le u_n \le (1/2)^n\). La convergence et la limite de la suite sont alors rapidement déterminées en utilisant le théorème des gendarmes. La fin de l'exercice propose l'analyse d'un algorithme Python qui calcule le rang à partir duquel la suite passe sous un certain seuil. Il faut justifier que l'algorithme se termine (grâce à la convergence de la suite vers 0) et déterminer la valeur retournée pour un appel donné, ce qui demande de comprendre le fonctionnement de la boucle `while`.