Contrôle Corrigé de Maths Terminale Spécialité : Géométrie dans l'Espace et Fonction Logarithme

Ce sujet de mathématiques pour la classe de Terminale Spécialité est un excellent entraînement pour le baccalauréat. Il couvre deux chapitres majeurs du programme : la géométrie dans l'espace et l'étude de fonctions, en particulier la fonction logarithme népérien. Ce contrôle corrigé, d'une durée de 2 heures et sans calculatrice, permet de valider des compétences clés sur les vecteurs, les droites, les plans, ainsi que sur l'analyse de fonction (limites, dérivée, tableau de variations, asymptotes).

Exercice 1 : Géométrie vectorielle dans l'espace (6 points)

Cet exercice se déroule dans un tétraèdre ABCD et utilise un repère non orthonormé de l'espace défini par `(B; \vec{BC}, \vec{BD}, \vec{BA})`. Le but est d'étudier la position relative de deux plans.

• Question 1 : Il est demandé de déterminer les coordonnées de plusieurs points (`I, I', J, J', K, K'`) définis par des relations vectorielles qui partagent des segments en trois. Cela nécessite une bonne maîtrise du calcul vectoriel et de la relation de Chasles pour passer des égalités vectorielles aux coordonnées dans le repère donné.
• Question 2 : Cette question se concentre sur les droites. Il faut d'abord justifier les représentations paramétriques données pour les droites `(CI)` et `(BJ')`, puis résoudre un système d'équations pour trouver les coordonnées de leur point d'intersection, noté `E`.
• Question 3 : Similaire à la question précédente, il s'agit de trouver les coordonnées du point `G`, intersection des droites `(BK)` et `(DI')`, en déterminant d'abord leurs représentations paramétriques.
• Question 4 : La question finale de cet exercice demande de déterminer la position relative des plans `(BCD)` et `(EFG)`. Avec les coordonnées du point `F` admises et celles de `E` et `G` calculées, on observe que ces trois points ont la même cote, ce qui implique que le plan `(EFG)` est parallèle au plan `(BCD)` (qui correspond au plan `z=0` dans ce repère).

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction avec Logarithme (9 points)

L'exercice central du sujet est une analyse détaillée de la fonction `f` définie sur `\mathbb{R}` par `f(x) = e^{-x} \ln(1 + e^x)`.

• Question 1 : Cette partie est dédiée à l'étude des limites et des asymptotes. Après avoir rappelé la limite fondamentale `\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1`, on doit déterminer la limite de `f` en `-\infty` (une forme indéterminée `+\infty \times 0`). On vérifie ensuite une autre écriture de `f(x) = \frac{x}{e^x} + e^{-x} \ln(1 + e^{-x})` pour calculer plus facilement la limite en `+\infty` grâce aux croissances comparées. L'étude des limites aux bornes permet de conclure à la présence de deux asymptotes horizontales pour la courbe `\mathcal{C}_f`.
• Question 2 : On introduit une fonction auxiliaire `g(t) = \frac{t}{1+t} - \ln(1+t)` définie sur `[0, +\infty[`. L'objectif est de prouver que `g` est strictement décroissante en calculant sa dérivée `g'(t)`, puis d'en déduire son signe.
• Question 3 : Le cœur de l'analyse : l'étude des variations de `f`. Le calcul de la dérivée `f'(x)` révèle un lien direct avec la fonction auxiliaire `g`. Le signe de `g(e^x)` donne immédiatement le signe de `f'(x)`, ce qui permet de dresser le tableau de variations complet de la fonction `f`.
• Question 4 : En guise de synthèse, il est demandé de tracer la courbe représentative `\mathcal{C}_f` ainsi que ses asymptotes, en se basant sur les résultats des questions précédentes.

Exercice 3 : Droites et plans dans l'espace (5 points)

Ce dernier exercice approfondit la géométrie dans l'espace, cette fois dans un repère orthonormé classique `(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})`.

• Question 1 : Une tâche fondamentale : déterminer une représentation paramétrique de la droite `\Delta` définie par deux points `A` et `B`.
• Question 2 : On étudie la position relative de la droite `\Delta` et d'une autre droite `\Delta'` dont la représentation est donnée. En montrant que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et qu'elles n'ont pas de point d'intersection, on prouve qu'elles sont non coplanaires.
• Question 3 : La dernière question porte sur les plans. On doit d'abord montrer que trois points `C, D, E` définissent bien un plan `\mathcal{P}` (en vérifiant qu'ils ne sont pas alignés). Ensuite, en étudiant la coplanarité des vecteurs `\vec{AB}`, `\vec{CD}` et `\vec{CE}` (par exemple, via le produit mixte), on peut déduire la position relative de la droite `\Delta` et du plan `\mathcal{P}`, qui se révèlent être sécants.