Contrôle Corrigé de Mathématiques : Récurrence et Étude de Suites (Terminale Spécialité)

Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner sur les chapitres fondamentaux que sont le raisonnement par récurrence et l'étude des suites numériques. Composé de deux exercices complets, il balaye les compétences essentielles : calcul de limites, gestion des formes indéterminées, démonstration par récurrence, étude des suites arithmético-géométriques et application à la modélisation et à l'algorithmique. Ce corrigé détaillé vous aidera à préparer efficacement vos évaluations et le Baccalauréat.

Exercice 1 : Maîtrise du Calcul de Limites de Suites (8 points)

Cet exercice a pour objectif de tester votre capacité à déterminer la limite de différentes suites numériques. Il est crucial de savoir identifier la nature de la suite pour appliquer la méthode de résolution adéquate. Plusieurs cas classiques sont abordés :

• Suites rationnelles : Les questions a et b portent sur des suites dont le terme général est un quotient de polynômes en \( n \), comme \( u_n = \frac{-7}{2n^3+3} \) et \( u_n = \frac{5n+3}{-n+2} \). La méthode consiste à lever la forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \) en factorisant le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré.
• Forme indéterminée avec polynômes et racines : La question c, avec \( u_n = -n^2 + \sqrt{n} \), présente une forme indéterminée du type \( \infty - \infty \). Là encore, la factorisation par le terme dominant (ici \( n^2 \)) permet de conclure.
• Théorème des gendarmes : La question d introduit la suite \( u_n = \frac{(-1)^n}{n} \). Sa nature alternée invite à utiliser le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement). En partant de l'encadrement \( -1 \leq (-1)^n \leq 1 \), on en déduit que \( -\frac{1}{n} \leq u_n \leq \frac{1}{n} \), ce qui permet de trouver la limite.
• Théorème de comparaison : La question e, avec \( u_n = n - \cos(n) \), se résout grâce à un théorème de comparaison. En encadrant le terme \( \cos(n) \) (\( -1 \leq \cos(n) \leq 1 \)), on obtient un encadrement de \( u_n \) (\( n-1 \leq u_n \leq n+1 \)) qui permet de déterminer sa limite par minoration.

La maîtrise de ces différentes techniques est fondamentale pour l'épreuve de spécialité mathématiques.

Exercice 2 : Problème Complet sur une Suite Arithmético-Géométrique et Algorithmique (12 points)

Ce second exercice est un problème concret de modélisation, typique de ce qui est attendu au Bac. Il s'articule autour de l'étude du taux de chlore dans une piscine, modélisé par une suite arithmético-géométrique \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 0,7 \) et la relation de récurrence \( v_{n+1} = 0,92 v_n + 0,3 \).

• Partie 1 : Raisonnement par récurrence et convergence. La première question vous guide vers une démonstration par récurrence pour prouver une double inégalité : \( v_n \leq v_{n+1} \leq 4 \). Cela établit à la fois que la suite est croissante et majorée. En vertu du théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone), on peut alors conclure que la suite \( (v_n) \) est convergente.
• Partie 2 : Étude de la suite arithmético-géométrique. Cette partie déploie la méthode classique d'étude de ce type de suite.
  1. On introduit une suite auxiliaire \( (u_n) \) définie par \( u_n = v_n - 3,75 \).
  2. On démontre que cette suite \( (u_n) \) est une suite géométrique, en déterminant sa raison (ici \( q=0,92 \)) et son premier terme.
  3. Grâce à la forme explicite de la suite géométrique \( u_n \), on en déduit la forme explicite de la suite \( v_n \) : \( v_n = 3,75 - 3,05 \times 0,92^n \).
  4. Finalement, on calcule la limite de \( (v_n) \) en utilisant la propriété sur la limite des suites géométriques (puisque \( |0,92| < 1 \), \( \lim_{n \to +\infty} 0,92^n = 0 \)).
• Partie 3 : Interprétation dans le contexte. Il s'agit de confronter la limite mathématique trouvée à la préconisation des piscinistes (taux de chlore entre 1 et 3 mg/L) pour conclure sur la conformité du protocole à long terme.
• Partie 4 & 5 : Algorithmique en Python. La fin de l'exercice aborde la programmation. Il faut compléter une fonction Python `alerte_chlore(s)` qui doit renvoyer le premier rang \( n \) à partir duquel \( v_n \) dépasse un seuil \( s \). Cela implique de bien comprendre la structure d'une boucle `while` pour implémenter un seuil de dépassement. L'exercice se termine par une question d'exécution et d'interprétation de l'algorithme, une compétence clé du programme de Terminale.

Ce sujet est donc un excellent entraînement, couvrant à la fois les aspects techniques du calcul de limites, la rigueur du raisonnement par récurrence, la méthode structurée d'étude des suites arithmético-géométriques et l'application concrète via la modélisation et l'algorithmique.