Sujet de Bac Blanc Corrigé - Mathématiques Terminale Spécialité

Ce sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la classe de Terminale (spécialité) est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. D'une durée de 4 heures, il balaye une grande partie du programme à travers quatre exercices indépendants : probabilités conditionnelles et loi binomiale, étude complète d'une fonction avec exponentielle, suites numériques (QCM) et géométrie dans l'espace. Ce contrôle corrigé est idéal pour réviser et valider ses connaissances sur des chapitres clés.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale

Cet exercice en trois parties aborde les concepts fondamentaux des probabilités.

• Partie A : Probabilités conditionnelles. On modélise le déclenchement d'une alarme incendie. Il est demandé de construire un arbre pondéré pour représenter la situation, puis de calculer des probabilités d'événements, comme la probabilité de l'intersection \(P(F \cap A)\) et une probabilité conditionnelle \(P_A(F)\) (probabilité qu'un feu se soit déclaré sachant que l'alarme s'est déclenchée). L'exercice amène également à utiliser la formule des probabilités totales.
• Partie B : Loi binomiale. On s'intéresse à un échantillon de 8 alarmes. Il faut d'abord identifier et justifier que la variable aléatoire \(X\), comptant le nombre d'alarmes défaillantes, suit une loi binomiale. Ensuite, on calcule des probabilités spécifiques comme la probabilité d'avoir exactement une alarme défaillante, \(P(X=1)\), et la probabilité d'en avoir au moins une, \(P(X \ge 1)\).
• Partie C : Recherche d'un seuil. Cette partie est un problème classique de loi binomiale où l'on doit trouver la plus petite valeur de l'entier \(n\) (le nombre d'alarmes choisies) pour que la probabilité d'avoir au moins une alarme défaillante dépasse un certain seuil (0,1). Cela implique de résoudre une inéquation de la forme \(1 - (1-p)^n > 0,1\), souvent à l'aide des logarithmes.

Exercice 2 : Étude Complète d'une Fonction

Cet exercice est une analyse de fonction classique, centrée sur la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x(1 - e^{2x}) + e^{2x}\) sur l'intervalle \(]-\infty; 1]\).

• On commence par déterminer la limite de la fonction en \(-\infty\).
• Le calcul de la dérivée \(f'(x)\) est une étape clé, qui mène à l'introduction d'une fonction auxiliaire \(u(x) = f'(x) = 1 + (1-2x)e^{2x}\).
• L'étude de cette fonction auxiliaire \(u(x)\) est demandée : calcul de sa limite, étude de ses variations (via le signe de sa propre dérivée \(u'(x)\)), et application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour prouver que l'équation \(u(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\).
• Le signe de \(u(x)\) permet ensuite de déduire le sens de variation de la fonction initiale \(f(x)\).
• Enfin, la dernière question porte sur la convexité de la courbe de \(f\). Il faut justifier l'existence d'un unique point d'inflexion, ce qui se fait en étudiant le signe de la dérivée seconde \(f''(x)\).

Exercice 3 : QCM sur les Suites Numériques

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui teste des compétences variées sur les suites et l'algorithmique.

• Question 1 : Reconnaître la nature d'une suite auxiliaire \((v_n)\) définie à partir d'une suite arithmético-géométrique \((u_n)\). Il faut montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.
• Question 2 : Déterminer la limite d'une suite \((a_n)\) définie par un encadrement. C'est une application directe du théorème des gendarmes.
• Question 3 : Analyser une suite dont les termes alternent de signe (la condition est \(v_n \times v_{n+1} < 0\)). Il s'agit d'un raisonnement sur la parité de l'indice \(n\) pour déterminer le signe d'un terme lointain, \(v_{10}\).
• Question 4 : Interpréter un algorithme écrit en langage Python. Il faut comprendre ce que calcule la boucle `while` pour déterminer la valeur retournée par la fonction. L'algorithme simule le calcul des termes d'une suite jusqu'à ce qu'un certain seuil soit dépassé.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace

Le dernier exercice est un problème de géométrie dans l'espace, modélisant une maison. On travaille dans un repère orthonormé.

• La première étape consiste à déterminer les coordonnées de plusieurs points du solide.
• Ensuite, on s'intéresse au plan du toit \((EFS)\). Il faut démontrer qu'un vecteur donné \(\vec{n}(0, 1, 1)\) est un vecteur normal au plan, puis en déduire son équation cartésienne, ici \(y+z-8=0\).
• La troisième partie traite de l'installation d'une antenne \([PQ]\). On doit établir une représentation paramétrique de la droite \((PQ)\), puis trouver les coordonnées du point \(P\) comme étant l'intersection de la droite \((PQ)\) et du plan \((EFS)\).
• Enfin, on étudie la trajectoire d'un oiseau, modélisée par une autre droite \(\Delta\). Le but est de déterminer la position relative des droites \((PQ)\) et \(\Delta\) (sécantes, parallèles ou non coplanaires) en résolvant un système. On conclut en vérifiant si le point d'intersection, s'il existe, appartient au segment \([PQ]\) pour savoir si l'oiseau percute l'antenne.