Obtenez une analyse complète et un corrigé détaillé de ce contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité. Ce sujet, d'une durée d'une heure, est centré sur les chapitres fondamentaux de la dérivation et de la convexité. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à maîtriser les compétences clés, de l'étude de fonctions composées à l'analyse graphique de la dérivée seconde.
Ce document est une ressource idéale pour les élèves qui souhaitent réviser et s'entraîner sur un sujet type, en approfondissant leur compréhension des dérivées, des tableaux de variation, des équations de tangente et de la notion de convexité.
Exercice 1 : Étude de fonctions composées
Cet exercice se divise en deux parties, chacune se concentrant sur une fonction composée différente et testant des techniques de dérivation spécifiques.
- Partie 1 : Fonction avec racine carrée
On étudie la fonction \( f(x) = v \circ u(x) \) avec \( u(x) = -x^2 - 2x + 8 \) et \( v(x) = \sqrt{x} \). Les étapes clés sont :- Déterminer l'ensemble de définition de \( f \), ce qui implique de résoudre l'inéquation du second degré \( -x^2 - 2x + 8 \ge 0 \).
- Calculer la dérivée \( f'(x) \) en utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée de type racine : \( (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \).
- Dresser le tableau de variation complet de \( f \) en étudiant le signe de sa dérivée.
- Partie 2 : Fonction avec exponentielle
On analyse la fonction \( g(x) = 5e^{x^3-9x} \). L'objectif est de :- Calculer la dérivée \( g'(x) \) en appliquant la formule de la dérivée d'une composée avec l'exponentielle : \( (e^u)' = u'e^u \).
- En déduire les variations de \( g \) en étudiant le signe de \( u'(x) = 3x^2-9 \), car l'exponentielle est toujours positive.
Exercice 2 : Lecture graphique de la convexité
Cet exercice est un cas classique d'analyse graphique. À partir de la courbe représentative de la dérivée seconde \( f'' \), il faut déduire des propriétés sur la fonction initiale \( f \).
- Points d'inflexion : Il s'agit d'identifier les abscisses où la courbe de \( f'' \) traverse l'axe des abscisses, c'est-à-dire où \( f''(x) \) s'annule en changeant de signe. Ces points marquent un changement de convexité pour la courbe de \( f \).
- Convexité et concavité : L'étude du signe de \( f''(x) \) permet de déterminer les intervalles où la fonction \( f \) est convexe (quand \( f''(x) > 0 \)) ou concave (quand \( f''(x) < 0 \)).
- Identification de la courbe : La dernière question demande de choisir, parmi deux propositions, la courbe qui représente \( f \). La réponse se justifie en utilisant les informations sur la convexité, la concavité et les points d'inflexion trouvées précédemment.
Exercice 3 : Problème complet sur l'exponentielle et les tangentes
Ce dernier exercice est un problème de synthèse en deux parties qui lie l'étude d'une fonction auxiliaire à l'étude d'une famille de fonctions et de leurs tangentes.
- Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
On étudie la fonction \( g(x) = 1 - e^{-x} \) sur \( [0; +\infty[ \). Cela implique :- Le calcul de la dérivée \( g'(x) \) pour établir le tableau de variation de \( g \).
- Le calcul de la dérivée seconde \( g''(x) \) pour déterminer la convexité de \( g \).
- Partie B : Étude d'une famille de fonctions et de sa tangente
On s'intéresse à la fonction \( f(x) = (x-1)e^{-kx} + 1 \). Les questions s'enchaînent logiquement :- Démontrer une expression donnée pour \( f'(x) \) en utilisant la dérivée d'un produit de fonctions.
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
- Calculer l'ordonnée à l'origine de cette tangente et montrer qu'elle correspond à \( g(k) \), la fonction étudiée en partie A.
- Utiliser les résultats de la partie A (notamment les variations de \( g \)) pour démontrer une propriété géométrique concernant la position de ce point d'intersection.
Ce sujet de contrôle corrigé est un excellent outil pour maîtriser les concepts de dérivation et de convexité en Terminale spécialité maths. Bonnes révisions !