Contrôle Corrigé sur la Continuité et l'Étude de Fonctions - Terminale Spécialité

Ce document propose le sujet et une analyse détaillée d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité. L'évaluation se concentre sur deux chapitres fondamentaux du programme : la continuité des fonctions et l'étude complète de fonctions. Ce type de sujet est un excellent entraînement pour le Baccalauréat, car il mobilise de nombreuses compétences analytiques et techniques. Vous y trouverez des exercices sur la continuité et la dérivabilité en un point pour une fonction définie par morceaux, une étude de fonction rationnelle très complète avec une fonction auxiliaire, et l'application du théorème des valeurs intermédiaires pour dénombrer et localiser les solutions d'une équation.

Ce corrigé détaillé vous permettra de vérifier vos connaissances et de comprendre les méthodes de résolution pas à pas. Les mots-clés abordés sont : fonction définie par morceaux, continuité, dérivabilité, étude de fonction, fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires (TVI), limites, dérivée, tableau de variations, équation de tangente, position relative.

Exercice 1 : Continuité et Dérivabilité d'une fonction définie par morceaux

Le premier exercice aborde la notion de raccordement de courbes en un point. On étudie une fonction f définie sur ℝ de manière différente selon l'intervalle où se trouve x :

$$ f(x) = \begin{cases} 2x-3 & \text{si } x < 2 \\ 1 & \text{si } x = 2 \\ (x-1)^2 & \text{si } x > 2 \end{cases} $$

L'objectif est de déterminer si cette fonction est continue et dérivable sur l'ensemble des réels, et plus particulièrement au point de jonction x = 2.

• Continuité : Pour vérifier la continuité en x=2, il faut comparer la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction en ce point. On doit donc calculer \( \lim_{x \to 2^-} f(x) \), \( \lim_{x \to 2^+} f(x) \) et \(f(2)\). Si ces trois valeurs sont égales, la fonction est continue en 2. Sur les intervalles \(]-\infty; 2[\) et \(]2; +\infty[\), la fonction est continue car elle est définie par des fonctions polynômes.
• Dérivabilité : Pour la dérivabilité en x=2, il faut examiner si le nombre dérivé à gauche est égal au nombre dérivé à droite. Cela se traduit par le calcul des limites des taux d'accroissement : \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\) et \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\). Si ces limites existent, sont finies et égales, alors la fonction est dérivable en 2.

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction avec fonction auxiliaire

Cet exercice est un grand classique du baccalauréat qui se décompose en deux parties : l'étude d'une fonction auxiliaire g pour en déduire les propriétés de la fonction principale f.

Partie 1 : Étude de la fonction auxiliaire \(g(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2\)

Cette première partie sert à préparer le terrain pour l'étude de f. Les étapes sont les suivantes :

• Variations de g : On calcule la dérivée \(g'(x)\), on étudie son signe, et on dresse le tableau de variations de g.
• Position relative : On étudie la position de la courbe de g par rapport à la droite \((D)\) d'équation \(y = x - 2\). Pour cela, on étudie le signe de la différence \(g(x) - (x - 2)\).
• Théorème des Valeurs Intermédiaires : En utilisant le tableau de variations et les limites de g, on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur ℝ. On cherche ensuite une valeur approchée de cette solution.
• Signe de g : Grâce aux variations et à la racine \(\alpha\), on déduit le signe de \(g(x)\) sur ℝ.

Partie 2 : Étude de la fonction principale \(f(x) = \frac{2x+1}{x^3+1}\)

Les résultats de la partie 1 sont essentiels pour cette seconde partie.

• Domaine de définition et continuité : On détermine l'ensemble de définition de f en excluant les valeurs qui annulent le dénominateur.
• Limites et asymptotes : On calcule les limites de f aux bornes de son domaine de définition (\(+\infty\), \(-\infty\) et autour de la valeur interdite) pour identifier les éventuelles asymptotes horizontales ou verticales.
• Dérivée et variations : On calcule la dérivée \(f'(x)\) en utilisant la formule de dérivation d'un quotient. C'est ici que la fonction g réapparaît, car le signe de \(f'(x)\) dépendra du signe de \(g(x)\) étudié précédemment. On peut alors dresser le tableau de variations complet de f.
• Relation \(f(\alpha)\) : Une question technique qui consiste à simplifier l'expression de \(f(\alpha)\) en utilisant la propriété \(g(\alpha)=0\) pour montrer que \(f(\alpha) = \frac{2}{3\alpha^2}\).
• Équation de la tangente : On termine par le calcul classique d'une équation de la tangente à la courbe de f en un point donné (ici, en x=0), en utilisant la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Exercice 3 : Application du TVI à une fonction polynôme

Ce dernier exercice est centré sur l'application fine du théorème des valeurs intermédiaires à la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

• Étude des variations : Comme pour l'exercice précédent, la première étape est de dériver la fonction, d'étudier le signe de la dérivée et de dresser le tableau de variations de f.
• Nombre de solutions de \(f(x)=0\) : C'est le cœur de l'exercice. En s'appuyant sur le tableau de variations, on identifie les intervalles sur lesquels la fonction est strictement monotone. En calculant les valeurs de f aux extrema locaux et en observant les changements de signe, on applique le TVI sur chaque intervalle pour démontrer que l'équation \(f(x)=0\) possède exactement trois solutions distinctes.
• Encadrement d'une solution : On demande de trouver un encadrement d'une des solutions, \(\beta\), à \(10^{-2}\) près. Ceci se fait typiquement par la méthode de balayage ou de dichotomie à l'aide de la calculatrice.
• Signe de la fonction : La dernière question demande le signe de f sur un intervalle défini par deux de ses racines, ce qui se déduit directement de l'étude des variations et de la position des racines.