Obtenez une analyse détaillée et un corrigé de ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale, option Maths Complémentaires. Ce devoir, centré sur les chapitres des primitives et équations différentielles, propose un problème complet et concret sur le lancement commercial d'une gourde isotherme. Idéal pour s'entraîner et maîtriser les compétences clés du programme.

Ce sujet de maths est une excellente ressource pour les élèves qui souhaitent réviser l'application des fonctions exponentielles, la résolution d'équations différentielles du premier ordre, et le calcul de primitives dans un contexte économique réaliste.

Partie A : Les ventes hebdomadaires

La première partie du problème se concentre sur l'étude d'une fonction modélisant le rythme des ventes hebdomadaires, définie par \(f(t) = 300 - 200e^{-0,2t}\). Cette section évalue la maîtrise de l'étude de fonctions exponentielles.

• Question 1 : Calcul de l'image en 0, \(f(0)\), et son interprétation dans le contexte. Cela correspond aux ventes initiales au moment du lancement.
• Question 2 : Détermination de la limite de la fonction en \(+\infty\). Cette question permet de comprendre le comportement à long terme des ventes et d'introduire la notion d'asymptote horizontale.
• Question 3 : Calcul de la fonction dérivée \(f'(t) = 40e^{-0,2t}\), étude de son signe pour en déduire le sens de variation de \(f\) et dresser le tableau de variations complet. Une compétence classique d'étude de fonction.
• Question 4 : Résolution de l'inéquation \(f(t) \geq 250\). Il s'agit ici de manipuler une inéquation avec exponentielle, nécessitant l'utilisation du logarithme népérien pour isoler la variable \(t\).
• Question 5 : Analyse de la croissance des ventes. Justifier que "les ventes augmentent, mais de moins en moins vite" demande d'étudier le signe de la dérivée première \(f'(t)\) (qui est positive) et le sens de variation de celle-ci, ce qui revient à étudier le signe de la dérivée seconde \(f''(t)\). C'est une introduction à la notion de convexité.

Partie B : L'équation différentielle des ventes

La deuxième partie modélise la même situation avec une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants de la forme \(y' = ay + b\). L'équation étudiée est \((E): y' = -0,2y + 60\).

• Question 1 : Vérification qu'une fonction donnée (celle de la partie A) est bien une solution de l'équation différentielle.
• Question 2 & 3 : Recherche de la solution constante et rappel des solutions de l'équation homogène associée \(y' = -0,2y\). L'objectif est de reconstituer la forme générale des solutions de \((E)\), qui sont de la forme \(y(t) = Ce^{-0,2t} + 300\).
• Question 4 : Détermination de la solution unique vérifiant une condition initiale, ici \(y(0) = 100\). C'est l'application directe de la méthode de résolution pour trouver la constante \(C\).
• Question 5 : Résolution d'une nouvelle équation différentielle \((E'): y' = -0,2y + 120\) avec la même condition initiale, modélisant un scénario différent.
• Question 6 & 7 : Comparaison des deux modèles et résolution d'une inéquation pour déterminer à partir de quand la demande dépasse la capacité de production.

Partie C : Ventes cumulées et coût de production

La dernière partie aborde le calcul des ventes totales et du coût de production en utilisant les primitives et le calcul intégral.

• Question 1 : Détermination d'une primitive \(F\) de la fonction \(f(t)\). Cela demande de connaître les primitives usuelles, notamment celle de la fonction exponentielle.
• Question 2 : Calcul du nombre total de gourdes vendues sur une période, \(N(T) = F(T) - F(0)\), ce qui correspond au calcul d'une intégrale définie \(\int_0^T f(t) dt\).
• Question 3 : Étude du coût. Le coût total \(C(q)\) est défini comme la primitive du coût marginal \(C_m(q) = 6 + \frac{400}{q+50}\).
  • a. Trouver les primitives de \(C_m\) nécessite de reconnaître la forme \(\frac{u'}{u}\) dont une primitive est \(\ln(u)\).
  • b. Utiliser la condition initiale \(C(0) = 20000\) pour trouver la primitive exacte correspondant au coût total.
  • c. Calcul d'un coût moyen et interprétation économique pour évaluer la rentabilité de l'entreprise.

Ce contrôle corrigé est un excellent exercice de synthèse pour les élèves de Terminale en maths complémentaires, liant analyse de fonction, équations différentielles et calcul de primitives dans un problème concret et guidé.