Obtenez une préparation complète pour votre prochain examen avec ce sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Terminale, option Maths Complémentaires. Ce devoir d'1h30, sans calculatrice, est spécifiquement conçu pour évaluer vos connaissances sur les chapitres cruciaux des primitives et des équations différentielles. Il s'agit d'une ressource pédagogique idéale pour réviser, s'entraîner et maîtriser les compétences clés attendues en fin d'année.

Le sujet est structuré en trois exercices progressifs, couvrant à la fois les techniques de calcul pures et leur application dans un problème concret.

Exercice 1 : Maîtrise du calcul de primitives (4,5 points)

Cet exercice fondamental a pour but de vérifier votre capacité à déterminer des primitives pour différents types de fonctions, une compétence essentielle du chapitre.

• Question 1 : Il s'agit de trouver une primitive pour cinq fonctions distinctes, en appliquant les formules du cours. Vous serez amené à primitiver :
  • Un polynôme : \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)
  • Une fonction exponentielle simple : \( f(x) = e^{2x} \)
  • Une fonction puissance : \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)
  • Une fonction de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) avec \( f(x) = \frac{2x}{x^2+1} \)
  • Une fonction de la forme \( u'(x)e^{u(x)} \) avec \( f(x) = (2x+1)e^{x^2+x} \)
• Question 2 : Cette question approfondit la notion de primitive en introduisant une condition initiale. Vous devrez :
  • Déterminer l'unique primitive \( F \) de \( f(x) = 2x-3 \) qui vérifie \( F(1) = 2 \). Cela implique de calculer la constante d'intégration.
  • Justifier qu'une autre fonction \( G(x) = x^2 - 3x + 1 \) est également une primitive de \( f \), puis calculer la différence \( F(x) - G(x) \). Cet exercice a pour but de vous faire retrouver la propriété fondamentale : deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
• Question 3 : Une question plus théorique qui teste votre compréhension de cette même propriété. À partir de deux primitives \( H \) et \( K \) d'une fonction \( g \), avec des conditions initiales \( H(0)=1 \) et \( K(0)=5 \), on vous demande de calculer \( K(2) - H(2) \), ce qui peut être fait sans connaître l'expression de \( g \), \( H \) ou \( K \).

Exercice 2 : Vrai ou Faux Justifié (10 points)

Cet exercice de type Vrai/Faux avec justification est un excellent moyen de tester votre rigueur et votre compréhension approfondie des concepts. Chaque affirmation porte sur les primitives ou les équations différentielles. Une réponse correcte nécessite une démonstration mathématique ou un contre-exemple bien choisi.

• Affirmation 1 : Tester si une fonction donnée, \( f(x) = 3e^{-2x} \), est solution d'une équation différentielle simple de la forme \( y' = ay \).
• Affirmation 2 : Évaluer votre connaissance de la forme générale des solutions d'une équation différentielle \( y' = ay \). L'affirmation propose une forme incorrecte, il faut savoir la reconnaître.
• Affirmation 3 : Il s'agit ici de résoudre une équation différentielle de la forme \( y' = ay + b \) avec une condition initiale (\( y(0) = 4 \)) et de vérifier si la solution proposée est la bonne.
• Affirmation 4 : Une question plus fine sur le comportement des solutions. On vous demande si toute solution d'une équation \( y' = -0.5y+1 \) est croissante, ce qui amène à étudier le signe de la dérivée \( y' \).
• Affirmation 5 : Un retour sur les primitives, demandant de prouver que si deux primitives \( F \) et \( G \) coïncident en un point (\( F(0) = G(0) \)), alors elles sont égales partout.

Exercice 3 : Problème Concret - Chute d'un Parachutiste (5,5 points)

Le dernier exercice est un problème complet qui illustre l'application des équations différentielles à une situation physique réelle : la modélisation de la vitesse d'un parachutiste. La vitesse \( v(t) \) est modélisée par l'équation différentielle \( (E): y' = 10 - 2y \).

Ce problème vous guide à travers les étapes suivantes :

1. Recherche d'une solution constante : Déterminer la vitesse limite (ou vitesse de régime permanent) atteinte par le parachutiste.
2. Résolution générale : Résoudre l'équation différentielle \( (E) \) pour trouver l'expression générale de la vitesse en fonction du temps.
3. Détermination de la solution particulière : Utiliser la condition initiale (la vitesse au moment de l'ouverture du parachute, \( v(0) = 50 \) m/s) pour trouver la fonction \( v(t) \) exacte qui décrit la situation.
4. Étude de la fonction solution : Analyser le sens de variation de la vitesse et sa limite en \( +\infty \) pour interpréter physiquement le comportement du parachutiste (freinage, stabilisation de la vitesse).
5. Calculs spécifiques : Résoudre l'équation \( v(t_1) = 10 \) pour trouver l'instant où la vitesse atteint 10 m/s. Cela nécessite de manipuler les fonctions exponentielle et logarithme.
6. Application numérique : Calculer des valeurs approchées de la vitesse à certains instants et la vitesse d'atterrissage en km/h, en utilisant les données fournies.

Ce sujet de mathématiques de Terminale est un excellent entraînement pour le baccalauréat, couvrant un large éventail de compétences sur les primitives et les équations différentielles.