Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale, option maths complémentaires. D'une durée de 55 minutes, ce sujet porte sur les chapitres des primitives et des équations différentielles. Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et réviser en conditions d'examen, la calculatrice étant autorisée en mode examen. Ce contrôle corrigé permet de valider des compétences essentielles pour le baccalauréat.
Exercice 1 : Un tableau de primitives
Cet exercice est un grand classique pour vérifier la maîtrise des techniques de base du calcul de primitives. L'objectif est de compléter un tableau en identifiant pour chaque fonction \(f\) une forme usuelle (comme \(u'e^u\), \(\frac{u'}{u}\), ou \(u'u^n\)) afin d'en déduire une primitive \(F\).
Les fonctions à étudier sont variées et balayent une large partie du programme :
- Fonctions exponentielles, comme \(f(x) = 2x e^{x^2}\) qui est de la forme \(u'e^u\) avec \(u(x) = x^2\).
- Fonctions rationnelles menant à un logarithme, comme \(f(x) = \frac{1}{2x+1}\) ou \(f(x) = \frac{e^x}{e^x+2}\), toutes deux de la forme \(\frac{u'}{u}\) (à un facteur près).
- Fonctions puissances, y compris avec des exposants négatifs comme dans \(f(x) = 6x^2 - \frac{1}{x^2}\).
- Fonctions polynomiales composées, comme \(f(x) = (2x+3)(x^2+3x+1)\), qui est un cas d'application de la forme \(u'u^n\).
Cet exercice de calcul de primitives est fondamental pour s'assurer que les formules et les réflexes d'identification sont bien acquis.
Exercice 2 : La méthode d'Euler
Ce deuxième exercice aborde les équations différentielles sous un angle à la fois théorique et numérique. On s'intéresse à l'équation différentielle simple \((E) : y' = 0,5y\) avec une condition initiale \(g(0)=1\).
L'exercice se décompose en plusieurs étapes :
- Application de la méthode d'Euler : Il s'agit d'une méthode de résolution numérique qui permet d'approcher la solution pas à pas. On montre que la suite des approximations \((y_n)\) obtenue par cette méthode est une suite géométrique, ce qui permet de calculer facilement ses termes.
- Résolution exacte et comparaison : On résout ensuite l'équation différentielle \((E)\) de manière analytique. Les solutions de \(y'=ay\) sont de la forme \(C e^{at}\). La condition initiale permet de trouver la solution unique \(g(t)\), puis de comparer la valeur exacte \(g(2)\) avec l'approximation \(y_4\) trouvée précédemment.
- Algorithmique : Une partie de l'exercice est consacrée à la programmation en Python. Il faut compléter une fonction qui implémente la méthode d'Euler, puis analyser et corriger un autre script erroné. Cela teste la compréhension de l'algorithme et la capacité à le traduire en code.
Cet exercice est très complet : il lie les suites, les équations différentielles, les méthodes numériques et l'algorithmique.
Exercice 3 : Une culture de levures
Ce dernier exercice est un problème de modélisation qui met en application les équations différentielles pour décrire un phénomène biologique : la croissance d'une population de levures. Il est divisé en deux modèles.
Partie A : Croissance exponentielle
On commence par un modèle simple où la croissance est proportionnelle à la population, ce qui se traduit par l'équation différentielle \(y' = 0,3y\). Les questions portent sur :
- La résolution de cette équation pour trouver l'expression de la population \(N(t)\) en fonction du temps, en utilisant la condition initiale \(N(0)=5\).
- Le calcul du temps de doublement, qui nécessite de résoudre une équation de la forme \(e^{kt} = C\) à l'aide de la fonction logarithme népérien.
- L'analyse des limites du modèle en étudiant le comportement de \(N(t)\) lorsque \(t \to +\infty\), montrant que la croissance infinie n'est pas réaliste.
Partie B : Un modèle plus réaliste
Pour corriger les défauts du premier modèle, on introduit le modèle logistique, régi par l'équation \((L) : y' = 0,3y(1-\frac{y}{80})\). Une solution \(g(t)\) est fournie et l'enjeu n'est pas de la trouver, mais de prouver qu'elle est bien la bonne.
- Il faut vérifier que la fonction proposée est solution de l'équation \((L)\). Cela demande de calculer la dérivée \(g'(t)\) (dérivée d'un quotient avec exponentielle), puis de vérifier que l'expression obtenue coïncide avec \(0,3g(t)(1-\frac{g(t)}{80})\).
- On étudie enfin la limite de cette nouvelle fonction lorsque \(t \to +\infty\) pour interpréter la capacité d'accueil maximale du milieu.
Cet exercice est un excellent exemple de l'utilité des équations différentielles dans d'autres disciplines et constitue un problème type bac pour les maths complémentaires.