Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir en trois questions toutes les primitives de base qu'on peut vous demander en terminale. On se fait ça tout de suite. La première chose à comprendre quand vous faites des primitives, c'est que les plus et les moins agissent comme des séparateurs. C'est à dire que vous êtes capable de régler le problème de la primitive en s'occupant indépendamment du 2, puis du \(X\), puis du \(3x^2\). La primitive de petit \(f\), par convention, on va la noter grand \(F\) de \(X\). La primitive de petit \(g\) ça sera grand \(G\), et ainsi de suite.
Primitive d'une constante
Commençons par le petit 2. La première chose qu'on vous demande de savoir, c'est que quand vous primitivez une constante, c'est à dire un deux, un \(\pi\), un 3, un -5, la primitive ça va toujours être cette constante fois \(x\). Donc \(2x\), pour l'instant, vous occupez-vous pas du plus \(c\) qui arrive. Pour l'instant, la primitive de 2 c'est \(2X\). Quand j'ai moins \(X\), vous ne laissez pas stresser par le moins. De la même manière que quand vous aviez moins \(X\) au carré, vous le diriez ça vous donner moins de \(X\). On se rend compte que dans la dérivée, quand il y a un coefficient, quand il y a un nombre devant, finalement il n'est pas atteint par la dérive. Vous voyez ce moins là, on le retrouve après la dérivée. Donc la dérivée a eu aucun effet sur l'après-midi. C'est pareil, si j'ai un signe moins, quand je cherche la primitive, le signe moins va rester. Donc ici, je peux déjà savoir que j'aurai un moins.
Primitive d'une fonction
De la même manière, ici j'ai un 3, donc quand je vais primitiver \(3x^2\), je m'occupe pas du 3, je primitive que \(X^2\). Donc vous voyez, ça permet de simplifier les choses. Maintenant, quand on veut primitiver \(x\), la primitive de \(X\) c'est \(x^2/2\). Donc ici, ma primitive c'est moins \(X^2/2\). De manière générale, quand vous voulez primitiver \(x\) puissance quelque chose, par exemple \(x^2\), sa primitive ça va être \(x^3/3\). Regardez, en fait sa réalité, ça marchait déjà ici. \(x\) puissance \(a\), sa primitive c'est \(x\) puissance \(1+1\) donc \(2/2\). \(x^2\), \(x^3/3\), \(x\) puissance \(250\), ça va être \(x\) puissance \(251/251\).
Maintenant, qu'est-ce qui se passe, on a quand même oublié un truc, c'est que chaque fois il y avait un plus \(c\). Si je vous demande toutes les primitives, regardez le problème. Effectivement, si je dérive \(2x\), ça me donne 2. Si je dérive \(X^2/2\), le 2 va devant, ça me simplifie, il me reste moins \(X\). Et si je dérive \(3x^3/3\), il va me rester juste \(3X^2\). Sauf que si je rajoute ça, quand je dérive ça, je tombe toujours là-dessus. Autrement dit, cette fonction elle est toujours une primitive de Salah. Si je remplace mon 5 par un \(\pi\), je dérive ça, j'aurais toujours ça, parce que ça, quoi qu'il arrive, ça va donner zéro. Donc ce qu'on dit, c'est que toutes les primitives, on va pas les écrire une par une à la main, parce qu'on a une infinité, mais on sait qu'elles s'écrivent ça, ça y est pour sûr, plus une constante que vous appelez \(c\), que vous appelez \(k\), avec cette constante qui est un nombre réel. Et là, vous avez donné toutes les primitives. Si je vous demandais une primitive, vous auriez pu faire sauter le \(C\), ou vous auriez pu par exemple écrire plus un à la place, ou plus 4, je m'en fiche. Mais chaque fois qu'on vous demande toutes les primitives, il faut qu'à la fin, vous n'oubliez pas qu'il y a un \(c\), une constante qui est un nombre réel.
Primitive de fonctions plus complexes
On continue avec \(GX\). Pour des raisons pratiques, je vais choisir de l'écrire plutôt deux fois \(1/x - 1/x^7\). Pourquoi est-ce que je fais ça ? Parce que déjà mon \(2 \times 1/x\) ça me permet d'être sûr que la primitive grand \(G\) de \(X\) elle va s'écrire deux fois quelque chose, avec ce quelque chose qui sera la primitive de \(1/x\). Vous voyez, ça c'est la primitive, je la connais, la primitive de \(1/x\) c'est \(\ln(x)\). On s'occupe encore du plus \(c\). Maintenant mon \(-1/x^7\), moi j'ai envie de l'écrire autrement. Donc je vais dire que c'est deux fois \(1/x - x^{-7}\). \(1/x^7\) c'est comme \(x^{-7}\), et du coup je vais pouvoir utiliser la formule de la primitive qu'on a utilisé là, à savoir qu'une primitive de \(x^2\) c'était \(x^3/3\), une primitive de \(x^4\) c'est \(x^5/5\), donc une primitive de \(x^{-7}\) c'est \(x^{-7+1}/-7+1\). Et ça me fait donc deux toujours plus ma constante, n'oublie pas, \(\ln(x) - x^{-7+1}\), ça me fait \(x^{-6}\), \(x^{-6}/-7+1 = -6\). Et maintenant je règle mon problème de signe, ça me fait \(2 \ln(x)\), le moins par moins ça fait plus, donc plus \(1/6 \times x^{-6}\), sauf que \(x^{-6}\) c'est \(1/x^6\), plus ma constante. Et finalement, ça me fait \(2 \ln(x) + 1/6x^6 + c\), avec \(c\) qui appartient aux réels.
Primitive de fonctions avec racines, cosinus et exponentielles
Troisième cas qui comprend les racines de \(X\), les cosinus de \(X\), ces exponentielles de \(X\) et les sinus de \(X\). Donc comment est-ce que je peux faire ça proprement ? Je vais l'encadrer. Donc ce que je regarde, bon vous comprenez, je le fais la suite. Donc moi je dis \(x\), je vais encore une fois changer légèrement son expression, \(5 \times 1/\sqrt{x} - 2 \cos(x) + 3e^x - \sin(x)\). Je sais que mes coefficients 5, -2, 3 et -1, ils vont rester. Donc je peux déjà savoir que ma primitive grand \(H\) de \(X\) elle va se noter cinq fois quelque chose, moins deux fois quelque chose, plus trois fois quelque chose et moins quelque chose. Et c'est parti. La primitive de \(1/\sqrt{x}\) c'est \(2\sqrt{x}\). Donc \(5 \times 2\sqrt{x} - 2 \times \cos(x)\), la primitive de \(\cos(x)\) c'est \(\sin(x)\). Donc la primitive de \(e^x\) c'est \(e^x\) et la primitive de \(\sin(x)\) c'est \(-\cos(x)\). Donc moins \(-\cos(x)\), moins par moins ça me fait plus. J'oublie pas mon plus \(c\) à la fin, avec \(c\) qui appartient aux réels.
Conclusion
C'est les primitives de base, entraînez-vous. Le point qui est touché, c'est ce point là, c'est pour apprendre à trouver la primitive de par exemple \(1/x^7\). \(1/x^7\) c'est comme \(x^{-7}\), du coup sa primitive c'est \(x^{-7+1}/-7+1\), donc \(x^{-6}/-6\), donc \(1/6x\), \(1/x^6\), et je mets tout ensemble, \(6x^6\). On vous a mis des exercices très simples en dessous, entraînez-vous. Ensuite, on passe notamment à la gestion de la constante à la fin.