Ce document propose un sujet de contrôle corrigé de mathématiques destiné aux élèves de Terminale en spécialité maths complémentaires. Cette évaluation de 30 minutes, sans calculatrice, est entièrement consacrée au chapitre sur les suites numériques et modèles d'évolution, avec un focus particulier sur le calcul des limites. C'est une ressource idéale pour s'entraîner à maîtriser les différentes techniques de détermination du comportement à l'infini d'une suite.

Exercice 1 : Rappel sur les Formes Indéterminées

Cet exercice est une question de cours fondamentale qui sert de prérequis à tout le reste du contrôle. Il est demandé de lister les quatre formes indéterminées qui nécessitent une étude plus approfondie lors du calcul d'une limite. La maîtrise de cette connaissance est essentielle pour identifier rapidement la bonne stratégie à adopter. Les quatre formes sont :

• La forme \( '\infty - \infty' \) pour une somme.
• La forme \( '0 \times \infty' \) pour un produit.
• La forme \( \frac{\infty}{\infty} \) pour un quotient.
• La forme \( \frac{0}{0} \) pour un quotient.

Exercice 2 : Calcul de Limites de Suites Numériques

Le cœur de ce sujet de maths, cet exercice teste de manière exhaustive les compétences de l'élève sur les limites à travers sept cas pratiques variés. Chaque suite a été choisie pour illustrer une méthode ou une difficulté spécifique.

• 1) Limite d'un produit polynomial : Pour la suite \( u_n = (1 - 2n)(n^2 + 3) \), il s'agit d'une limite d'un produit. La méthode la plus directe consiste à développer l'expression pour obtenir un polynôme en \( n \), puis à appliquer la règle du terme de plus haut degré pour trouver la limite, qui est \( -\infty \).
• 2) Limite d'une somme simple : La suite \( u_n = 4n - 1 + \frac{5}{\sqrt{n}} \) est une somme de termes dont les limites sont connues (limites de suites de référence). C'est une application directe des opérations sur les limites, la limite étant \( +\infty \).
• 3) Limite d'un quotient de polynômes : La suite \( u_n = \frac{-n^3 + 2n^2 + 8}{5n^6 - 3n} \) correspond à une forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \). La technique consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par leur monôme de plus haut degré respectif, puis à simplifier pour lever l'indétermination. La limite est 0.
• 4) Limite avec racine carrée : Avec \( u_n = \frac{1}{\sqrt{n}}(-3n + 5) \), nous faisons face à une forme indéterminée \( '0 \times \infty' \). Une manipulation algébrique, comme écrire \( u_n = \frac{-3n}{\sqrt{n}} + \frac{5}{\sqrt{n}} = -3\sqrt{n} + \frac{5}{\sqrt{n}} \), permet de conclure que la limite est \( -\infty \).
• 5) Limite avec le théorème des gendarmes (cas \( (-1)^n \)) : La suite \( u_n = -n^4 - \frac{(-1)^n}{n^2} \) combine un terme qui diverge et un terme borné qui oscille. Le théorème des gendarmes est indispensable pour prouver que le second terme tend vers 0, ce qui permet de trouver la limite globale \( -\infty \).
• 6) Limite avec le théorème des gendarmes (cas cosinus) : Similaire au cas précédent, la suite \( u_n = \frac{4\cos(n+1)}{3n} - 2 \) utilise la propriété que la fonction cosinus est bornée entre -1 et 1. Un encadrement du premier terme permet, grâce au théorème des gendarmes, de montrer qu'il tend vers 0. La limite de \( u_n \) est donc -2.
• 7) Limite d'une suite géométrique : Enfin, la suite \( u_n = -\frac{(-\frac{1}{2})^n}{n} + 5 \) fait intervenir une suite géométrique de raison \( q = -1/2 \). Comme \( |q| < 1 \), le terme géométrique tend vers 0. Il est alors facile de conclure que la limite de la suite est 5.

En résumé, ce contrôle de maths pour Terminale est un excellent entraînement pour la révision des limites de suites. L'absence de calculatrice force à raisonner et à bien connaître ses formules et théorèmes, comme le théorème des gendarmes ou les règles sur les suites géométriques.