Introduction
Allez les amis, on est parti pour un exercice bien particulier qui est une limite de suite quand vous avez une racine avec du \(n\) à l'intérieur, pas juste racine de \(n\), par exemple \(\sqrt{2n} + 5\). On va s'en sortir en utilisant le conjugué. Si vous ne savez pas ce que c'est, c'est normal, on voit ça tout de suite.
Problème
Prenons \(\sqrt{n^2} + 5\). Si vous cherchez la limite en \(+\infty\) au brouillon, ce que je vous conseille, vous allez avoir \(n\) qui tend vers \(+\infty\) et \(\sqrt{n^2} + 5\) qui tend vers \(+\infty\). Donc, \(\sqrt{n^2} + 5\) tend vers \(+\infty\) et vous vous rendez compte qu'on tombe sur une des quatre formes indéterminées qui est \(+\infty - \infty\). Comment va-t-on lever ça ?
Chaque fois que vous avez une différence ou une somme avec \(\sqrt{n^2} + \text{quelque chose}\), la technique qui marche c'est de dire : je vais chercher cette limite mais avec le conjugué, c'est-à-dire la même chose avec un plus au milieu. Donc, non pas \(- \sqrt{n^2} + 5\) mais \(+ \sqrt{n^2} + 5\). Et vu que je n'ai pas le droit de la modifier comme ça, on va aussitôt diviser par \(n + \sqrt{n^2} + 5\).
Pourquoi je fais ça ? Parce que j'ai multiplié par \(\frac{\sqrt{n^2} + 5}{\sqrt{n^2} + 5}\), j'ai pas touché à ce truc là. Sauf que vous allez voir que cette forme là, une fois qu'on l'aura simplifiée, elle est beaucoup plus simple à traiter parce qu'elle va lever la forme indéterminée.
Solution
Donc on prend \(- \sqrt{n^2} + 5\) fois \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Ça vous dit rien ça ? Est-ce qu'on serait pas par hasard sur un truc de la forme \(a - b\) fois \(a + b\) ? Oui, on est là-dessus. Et si vous avez bien bossé vos identités remarquables, vous savez que quand j'ai \(a - b\) fois \(a + b\), c'est exactement la même chose que d'avoir \(a^2 - b^2\).
Donc, \(- \sqrt{n^2} + 5\) fois \(n + \sqrt{n^2} + 5\) c'est la même chose que \(n^2 - (\sqrt{n^2} + 5)^2\) le tout divisé par \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Sauf que là, \(\sqrt{n^2} + 5\) c'est positif, du coup quand je le mets au carré, le carré et la racine vont se simplifier. Je vous rappelle que \(\sqrt{a^2}\) ça fait \(a\), à ne pas confondre avec \(\sqrt{a}^2\) qui fait \(a\).
Donc je me retrouve avec \(n^2 - n^2 + 5\) divisé par \(n + \sqrt{n^2} + 5\) et quand je simplifie ça me fait \(0 - n^2 + 5\) sur \(n + \sqrt{n^2} + 5\). Pourquoi est-ce que c'est cool ? Parce que vous voyez qu'il y a des choses qui se simplifient, le \(n^2\) et le \(n^2\), ils partent. Maintenant, plutôt que de chercher la limite de \(- \sqrt{n^2} + 5\), on va chercher la limite de \(-5\) sur \(n + \sqrt{n^2} + 5\).
Et là, au brouillon, je me rends compte que le haut tend vers \(-5\) et le bas tend vers \(+\infty\). Donc on tombe avec \(-5\) sur \(+\infty\), ce n'est pas une forme indéterminée, donc le résultat existe. Combien de fois est-ce que je peux rentrer \(+\infty\) dans \(-5\) ? Je peux rentrer une infinité de fois dans une boîte qui en contient 5, 0 fois. Je ne rentrerai jamais une infinité de fois dans une boîte qui en contient que 5.
Du coup, je peux conclure en disant que la limite de \(n\) c'est \(+\infty\), que la limite de \(\sqrt{n^2} + 5\) c'est aussi \(+\infty\) et je mets ces petits crochets que j'aime tant. Et que vous commencez à maîtriser maintenant, parce qu'il y a un plus au milieu, donc la somme, la limite de \(n + \sqrt{n^2} + 5\) c'est \(+\infty\). Et je rappelle que la limite de \(-5\) c'est \(-5\). Et une dernière accolade où j'écris que du coup, par quotient, la limite de \(-5\) sur \(+\infty\) ça fait \(0\).
Je n'ai pas écrit parce que je n'ai plus de place sur le tableau, mais vous voyez très bien où je veux en venir. On vous a vu des exercices, ça tombe au contrôle, entraînez-vous, c'est parti.