6. Limite d'un quotient de suites

Introduction

Allez les amis, on est parti pour la troisième vidéo sur les limites de suite. Cette fois-ci, on va gérer des quotients de suites, c'est-à-dire une suite divisée par une autre. On n'aura pas besoin d'utiliser le tableau et on va apprendre de nouvelles formes indéterminées. Ce que vous connaissez comme une forme indéterminée jusqu'à présent, c'est \(+\infty\) auquel je vais soustraire \(+\infty\), c'est \(0 \times \pm \infty\). Ce qu'on va voir aujourd'hui, c'est \(0/0\) et \(\pm \infty / \pm \infty\). Vous avez vu toutes les formes indéterminées, bien que ces quatre-là, inutile d'apprendre le tableau avec, je crois, à peu près \(4 \times 16\), donc quelque chose comme 65 entrées.

Exemple 1

On attaque les premières limites. Avant de commencer à faire quoi que ce soit, je vous recommande de le faire au brouillon. Donc, la limite de \(3\) est \(3\), la limite de \(n + 1\) c'est \(+\infty\). Quand je prends trois et je le divise par \(+\infty\), c'est-à-dire quand j'essaie de rentrer une infinité d'éléments dans une boîte qui ne peut contenir que \(3\), combien de fois est-ce que je vais réussir à rentrer mon infinité d'éléments ? Et bien, \(0\) fois. J'en ai tellement, ça rentrera jamais dans ma petite boîte. Donc, vous savez que cette limite, ça va être \(0\). Sauf que, vu que vous êtes mes gars sûrs, vous allez faire avec élégance. Vous allez montrer cette limite de manière à ce que le prof ne puisse rien vous reprocher. Du coup, vous allez commencer par dire que la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(3\) est \(3\), ensuite vous allez dire que la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(n + 1\) c'est \(+\infty\). Vous allez ouvrir un petit crochet, vous allez dire par quotient, la limite de \(3 / (n + 1)\) c'est \(0\). Et là, vous avez gagné, là vous êtes absolument inattaquable. Le prof peut être aussi énervé qu'il veut, jamais il pourra critiquer cette mise en page là.

Exemple 2

On continue avec \(3 + 2/n\) sur \(n + 1\). Encore une fois, je le fais au brouillon. Je commence avec mon \(3 + 2/n\). Donc, je suis potentiellement face à ça, donc potentiellement face à une forme indéterminée. Donc, j'appelle ça le brouillon. \(3\) ça reste \(3\), \(2/n\) ça fait \(0\), \(3 + 0\), est-ce que c'est une forme indéterminée ? Évidemment que non. Et vous n'avez pas besoin d'apprendre le tableau pour savoir que quand je fais un truc qui tend vers trois plus un truc qui tend vers zéro, ça fait tout simplement trois. \(n + 1\) il tend vers \(+\infty\), donc je me retrouve avec \(3 / +\infty\), est-ce que c'est une forme indéterminée ? Évidemment, au même titre que oui, sinon c'est pas une forme indéterminée. \(3 / +\infty\) ça veut dire combien de fois je peux rentrer une infinité d'éléments dans une boîte qui ne peut en contenir que \(3\), et bien, \(0\) fois. Attention, tout ce que j'ai écrit là, ce sont les choses qui apparaissent au brouillon. En réalité, sur votre copie, cela ne doit pas apparaître. Écrire \(3 / +\infty\) c'est un sacrilège en maths, on ne fait pas ça, ça fait pleurer Thalès. Donc, vous ne l'écrivez pas. Par contre, vous le faites au brouillon et maintenant vous entamez la rédaction. Donc, \(3 + 2/n\), la limite de \(3\) est \(3\), la limite de \(2/n\) c'est \(0\). Par somme, la limite de \(3 + 2/n\) c'est \(3\). Ensuite, je me suis occupé du haut, ça c'est bon, maintenant je m'occupe du bas. La limite de \(n + 1\) est \(+\infty\), donc \(3 / +\infty\) ça fait \(0\). J'encadre et je suis encore une fois bon.

Conclusion

Je vous concède, j'écris comme un cochon, franchement c'est dégueulasse. J'aurais pu vous faire ça plus proprement, j'aurais pu écrire plus finement et plus proprement. Je pense que vous avez quand même compris l'esprit. Oui, je suis juste une voix off, mais vous êtes intelligents. Du coup, votre intelligence compense. On continue. Alors, je me rappelle les deux formes indéterminées sur ce chapitre, donc \(+\infty + -\infty\) et \(0/0\). C'est une forme indéterminée. On continue. Donc là, j'ai une somme, une somme et un quotient. Vous pouvez faire un bloc avec la somme, un bloc avec le quotient. Je veux faire tac, tac, par quotient. Vous voyez comme c'est stylé cette manière de faire, c'est franchement la manière la plus classe qui existe. Donc, la limite de \(n^2\) je commence par le haut, je commence par ce bout là, c'est \(+\infty\). La limite de \(2n\) c'est \(+\infty\). Est-ce que j'ai une forme indéterminée quand je fais \(+\infty + +\infty\) ? Non, je vous rappelle que les formes indéterminées, c'est ça, ça et les deux autres. Donc, \(+\infty + +\infty\) ça me fait tout simplement \(+\infty\). Donc, par somme, la limite de \(n^2 + 2n\) c'est \(+\infty\). Je recommence avec le bas. Donc, la limite de \(3n^2 + 2n + 3\) est \(+\infty\). La limite de \(3n\) est \(+\infty\). La limite de \(3\) est \(3\). Est-ce que j'ai une forme indéterminée quand je fais un nombre infiniment grand plus un nombre infiniment grand plus un nombre infiniment grand ? Non. Donc, par somme, la limite de \(3n^2 + 2n + 3\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\). J'ai fait le haut ici, j'ai fait le bas maintenant. Je fais une grande accolade et je dis par quotient, la limite de tout ça divisé par tout ça, ça fait \(+\infty / +\infty\), ça fait \(+\infty \times +\infty\), c'est une forme indéterminée. Donc, en fait, il n'y a pas besoin d'écrire tout ça, il suffit juste d'écrire "forme indéterminée". Vous avez compris le point sur ça, c'est exactement ce qui se passe en contrôle. Si vous ne faites pas ce que je vous ai dit, ça fait deux heures que je vous dis, on fait d'abord au brouillon pour savoir si c'est une forme indéterminée, pour justement éviter d'écrire tout ça. Parce que ça, c'est l'exemple parfait, c'est-à-dire que je me suis lancé dans le calcul sans vérifier auparavant si je n'avais pas par hasard une forme indéterminée. Et c'est que quand j'arrive tout au bout du calcul, à la dernière seconde, que je me rends compte qu'en fait j'ai \(+\infty / +\infty\), et que \(+\infty / +\infty\) c'est une de mes formes indéterminées. Du coup, j'ai rédigé tout ça pour rien, j'ai perdu au moins, je ne sais pas, deux minutes. Vous pouvez mesurer sur la vidéo à rédiger ce truc là. J'ai le seul, je commence mon contrôle dans des conditions terribles et je ne vais pas aussi bien le réussir que si, auparavant, au brouillon, j'avais regardé vite fait que ça fait \(+\infty\), ça ça fait \(+\infty\), et que je suis sûr que \(+\infty / +\infty\) c'est une forme indéterminée. Ne faites pas la même erreur. On vous a mis des exercices dans le bouquin, vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. 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Vous vous fichez de savoir si c'est tout ce qu'on a fait pour les limites. Vous vous