Découvrez le corrigé détaillé d'un devoir commun de maths complémentaires pour la Terminale. Ce sujet complet de 2 heures, avec calculatrice autorisée, balaye les chapitres clés du programme pour vous aider à préparer efficacement vos examens. Idéal pour les révisions, ce contrôle corrigé vous permettra de vous exercer sur des problèmes concrets et des questions de type Vrai/Faux avec justification.

Exercice 1 : Étude de la concentration d'un antibiotique (Analyse de fonction, Intégration)

Cet exercice est un problème concret de pharmacologie, un grand classique en maths complémentaires. Il évalue la capacité à modéliser une situation et à utiliser les outils de l'analyse, notamment l'intégration et les primitives.

• Partie A : La première partie aborde une méthode numérique d'estimation d'aire. À partir d'un tableau de mesures de la concentration d'un antibiotique, on vous demande d'estimer l'aire sous la courbe en utilisant la méthode des trapèzes. C'est une application directe du concept d'intégrale comme mesure d'aire.
• Partie B : On passe ensuite à un modèle mathématique continu avec la fonction C(t) = 10(e^-0,25t - e^-t). Les questions testent plusieurs compétences clés :
  • Vérifier la cohérence du modèle avec les données expérimentales.
  • Étudier le signe de la fonction pour s'assurer de sa validité physique (une concentration ne peut être négative).
  • Déterminer une primitive de la fonction C, ce qui implique de connaître les primitives des fonctions exponentielles de la forme e^at.
  • Calculer la valeur exacte de l'intégrale de C(t) entre 0 et 12, qui représente l'exposition totale au médicament.
  • Calculer la valeur moyenne de la concentration sur l'intervalle [0, 12], et interpréter le résultat pour conclure sur l'efficacité de l'antibiotique.

Exercice 2 : Vrai ou Faux avec justification (Suites, Fonctions, Logarithme, Convexité, Équations différentielles)

Cet exercice est un excellent entraînement pour tester la précision de vos connaissances et votre capacité à argumenter. Chaque affirmation doit être justifiée rigoureusement.

• Affirmation 1 : Étude de la convergence d'une suite arithmético-géométrique u_n+1 = 0,8 u_n + 60. Il faut trouver le point fixe et utiliser les propriétés de convergence.
• Affirmation 2 : Étude des variations de la fonction f(x) = (x² - 3)e^x. Cela nécessite de calculer la dérivée, d'étudier son signe (qui dépend d'un polynôme du second degré) et de conclure sur le sens de variation de f.
• Affirmation 3 : Résolution d'une équation avec la fonction logarithme népérien : ln(x) + ln(x - 3) = ln(10). Attention au domaine de définition avant de résoudre l'équation polynomiale associée.
• Affirmation 4 : Étude de la convexité de la fonction h(x) = x² - 8ln(x). Le calcul de la dérivée seconde et l'étude de son signe sont ici indispensables.
• Affirmation 5 : Vérification de l'unicité d'une solution pour une équation différentielle du premier ordre y' = -3y + 12 avec une condition initiale. Il s'agit de résoudre l'équation et d'identifier la constante grâce à g(0) = 2.

Exercice 3 : Filtrage de courriels (Probabilités)

Ce dernier exercice aborde les probabilités conditionnelles et les lois discrètes dans un contexte de filtrage de spams.

• Partie A : Modélisation d'une situation à l'aide d'un arbre pondéré. On y calcule des probabilités d'intersections, on applique la formule des probabilités totales, et on inverse un conditionnement (formule de Bayes) pour calculer la probabilité qu'un message soit un spam sachant qu'il contient un certain mot.
• Partie B : Le courrier d'une journée est modélisé par une variable aléatoire.
  • Justifier qu'elle suit une loi binomiale en vérifiant les conditions d'application (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes).
  • Calculer l'espérance et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
  • Utiliser la calculatrice pour calculer des probabilités liées à cette loi binomiale (P(X=k), P(X ≥ k)) et pour déterminer un seuil k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,95.

En somme, ce sujet de maths de terminale est très représentatif des attendus pour l'épreuve de maths complémentaires, mêlant analyse de fonctions, suites, et probabilités.