Introduction
Allez les amis, on continue sur les limites de suite avec cette fois-ci le produit de limites. On ne va pas utiliser le tableau et on va apprendre à gérer les formes indéterminées comme des bosses. C'est parti!
Produit de limites
Pour gérer un produit de limites, vous avez deux options : soit vous apprenez le super méga tableau qui est ultra long et qui avoue prendre des plombes, qui va vous ralentir et vous faire perdre un temps fou pendant les contrôles, soit vous retenez ce que je vous dis. Le seul cas où on a une forme indéterminée avec un produit de limites, c'est quand on a plus ou moins l'infini \(\times 0\). De la même manière que dans les sommes, le seul cas où on avait une forme à déterminer, c'était plus ou moins l'infini. Donc, quand j'ai un grand nombre \(\times 0\), lequel gagne ? Un milliard fois un truc très proche de zéro, est-ce que c'est plutôt proche de zéro ou est-ce que c'est plus proche qu'un milliard ? On ne sait pas, donc ça donne des formes à déterminer. Toutes les autres situations, on peut les gérer avec de l'intelligence et du bon sens, on n'a pas besoin d'apprendre ce tableau.
Exemples
Prenons l'exemple de la limite quand \(n\) tend vers l'infini de \(n + 1\) \(\times n^2\). Avant de vous lancer dans la rédaction, ce que je vous conseille, c'est de réfléchir aux bruyants à ce que ça fait. Donc \(n + 1\), on sait que ça tend vers plus l'infini. \(n^2\), on sait que ça tend vers plus l'infini. Plus l'infini fois plus l'infini, a priori, ça fait un truc infiniment grand. Donc on attaque notre rédaction : la limite de \(n + 1\) c'est plus l'infini, la limite de \(n^2\) c'est plus l'infini. Je mets comme d'habitude ce petit crochet que j'aime bien et j'écris "par produit", et je peux tout remettre : la limite de \(n + 1 \times n^2\) c'est plus l'infini. J'encadre, je prends mon point et je suis absolument blindé, inattaquable. Le prof ne peut pas m'enlever de points.
On continue avec la limite de \(3n^3 / n + 2n + 1\). Avant de commencer cette réaction pour ne pas perdre trop de temps, au brouillon je vérifie ce que ça fait. Donc la limite de \(3n^3 / n\), ça tend vers \(3 / \infty\), ça fait zéro. Les \(2n + 1\), ça tend vers plus l'infini. Est-ce que j'ai plus l'infini moins l'infini \(\times 0\), ou plus l'infini \(\times 0\) ? Du coup, c'est une forme indéterminée, je peux l'écrire tout de suite et je me suis épargné d'avoir à rédiger tout ce truc là .
On finit avec un exemple un peu plus lourd et je vous montrerai la rédaction qu'on attend de vous et pourquoi cette notation est importante. Donc au brouillon, je recommence : \(n + 1\), ça me fait plus l'infini. \(3n^2\), ça fait plus l'infini. \(2n\), ça fait plus l'infini. \(-3\), ça fait moins 3. Du coup, tout ça, ça fait plus l'infini. Ce n'est pas une forme indéterminée, plus l'infini plus ça, ça fait plus l'infini.
Regardez maintenant à quoi elle va nous servir cette notation. Elle va nous servir à exprimer ce qu'on vient de faire là . On a d'abord calculé ce truc là , on a vu que ça faisait plus l'infini. Ensuite, on a calculé ce truc là , on a vu que ça faisait plus l'infini. Et ensuite, on va dire par produit, ça fait plus l'infini. Donc on commence avec ce truc là : la limite de \(3n^2\) c'est plus l'infini. Ensuite, celui là : la limite de \(2n\) c'est plus l'infini. Ensuite, la limite de \(-3\) c'est moins 3. Je mets un crochet, dans quelle relation est-ce qu'ils étaient ces nombres là ? Ils n'étaient pas dans un produit, ils étaient dans une somme. Du coup, je dis "par somme", la limite de \(3n^2 + 2n - 3\) ça fait plus l'infini. Là , j'ai réglé le bout en vert. Maintenant, je continue : d'autre part, la limite de \(n + 1\) c'est plus l'infini. Et là , j'ouvre un deuxième crochet qui va symboliser ce truc là . Par produit, la limite de l'intégralité, je n'ai pas la place pour l'écrire, ça fait plus l'infini. Et là , c'est la notation correcte.
Conclusion
Donc vous voyez, on commence par dire "bon, j'ai d'abord calculé par somme ce qui se passe ici, ensuite je vais rappeler que ça tend vers plus l'infini et j'ouvre un autre crochet pour dire que la limite du tout c'est plus l'infini". Plus l'infini plus l'infini, c'est plus l'infini. Je vous rappelle pour l'instant les deux formes indéterminées que vous connaissez et encore une fois, ça sert à rien d'apprendre ce tableau. Réfléchissez-y, les seules choses que vous avez besoin de savoir, c'est que quand j'ai plus l'infini moins l'infini avec une différence au milieu, ça fait une forme indéterminée et que quand j'ai plus l'infini ou moins l'infini \(\times 0\), ça fait une forme indéterminée. Vous allez voir qu'à la fin des trois ou quatre vidéos, vous aurez quatre formes indéterminées à connaître et ça sera tout. Donc est-ce que vous préférez apprendre quatre tableaux extrêmement longs avec tous les cas possibles ou alors juste quatre formes indéterminées qui tiennent sur un doigt ? À vous de jouer, on vous a mis des exercices en dessous pour vous entraîner.