Contrôle corrigé de Mathématiques Complémentaires pour la Terminale

Ce sujet de devoir commun de 2 heures, sans calculatrice, est une excellente ressource pour les élèves de Terminale en option maths complémentaires. Il balaye les chapitres clés du programme : les suites numériques, les limites et la continuité, la dérivation avec l'étude de fonctions, et la fonction logarithme népérien. Ce sujet de maths est idéal pour s'entraîner et évaluer sa compréhension des notions fondamentales.

Exercice 1 : Modélisation d'un emprunt avec une suite (5 points)

Cet exercice est un problème classique de modélisation financière utilisant les suites. On étudie le remboursement d'un prêt de 6000 €.

• Modélisation : La première étape consiste à traduire la situation (ajout d'intérêts mensuels de 0,5 % et remboursement de 250 €) en une relation de récurrence. On établit que la suite \((u_n)\) du capital restant dû est une suite arithmético-géométrique définie par \(u_{n+1} = 1,005 u_n - 250\).
• Étude de la suite : Pour trouver la forme explicite de \((u_n)\), on introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 50000\). On démontre que \((v_n)\) est une suite géométrique, ce qui permet de trouver son expression explicite, puis de revenir à celle de \((u_n) : u_n = 50000 – 44000 \times 1,005^n\).
• Limite et interprétation : L'étude de la limite de la suite \((u_n)\) quand \(n\) tend vers l'infini permet de conclure sur le remboursement du prêt. Comme \(1,005 > 1\), la limite de \(1,005^n\) est \(+\infty\), et donc celle de \((u_n)\) est \(-\infty\), garantissant que le capital restant dû deviendra nul.
• Algorithmique : L'exercice se termine par une question de programmation Python, où il faut compléter une fonction qui calcule le nombre de mois nécessaires pour rembourser le crédit, en utilisant une boucle `while`.

Exercice 2 : Vrai ou Faux sur les Limites et la Continuité (3 points)

Cet exercice teste la précision du raisonnement sur des concepts d'analyse à travers trois affirmations à justifier.

• Affirmation 1 : Limites et asymptotes. On étudie la fonction \(f(x) = \frac{4x - 3}{x + 1}\). Il faut calculer la limite en \(-1^+\) pour identifier l'asymptote verticale \(x = -1\), et la limite en \(+\infty\) pour identifier l'asymptote horizontale \(y = 4\).
• Affirmation 2 : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Une fonction \(g\) est continue sur \([0; 1]\) avec \(g(0) = -3\) et \(g(1) = 3\). L'affirmation prétend que l'équation \(g(x) = 0\) admet exactement une solution. C'est un piège classique : le TVI garantit au moins une solution, mais la stricte monotonie est nécessaire pour garantir l'unicité.
• Affirmation 3 : Corollaire du TVI (Théorème de la bijection). On étudie l'équation \(x^3 + 2x - 1 = 0\). Il faut appliquer le corollaire du TVI à la fonction \(h(x) = x^3 + 2x - 1\). En montrant qu'elle est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), on prouve l'existence d'une unique solution. Le calcul de \(h(0)\) et \(h(1/2)\) permet ensuite de vérifier l'encadrement proposé.

Exercice 3 : Étude approfondie de la fonction logarithme népérien (8 points)

Cet exercice très complet explore les propriétés de la fonction \(f(x) = \ln(x)\) et de ses tangentes.

• Partie A - Tangentes : On commence par déterminer l'équation de la tangente \(T_a\) à la courbe en un point d'abscisse \(a\), en utilisant la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\). On découvre ensuite une propriété géométrique remarquable : la longueur du segment \([HK]\) (la "sous-tangente") est constante et indépendante de \(a\).
• Partie B - Position relative : Pour étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'abscisse \(e\), on étudie le signe de la fonction différence \(g(x) = \frac{x}{e} - \ln(x)\). Le calcul de la dérivée \(g'(x)\), l'étude de son signe et le tableau de variations montrent que \(g(x)\) admet un minimum de 0 en \(x=e\). Cela prouve la célèbre inégalité de convexité \(\ln(x) \leq \frac{x}{e} - 1\), ou ici que la courbe du logarithme est toujours en dessous de sa tangente en \(x=e\).
• Partie C - Approximation : On utilise le fait que la courbe est en dessous de ses tangentes (concavité) pour donner une valeur approchée par excès de \(\ln(4.2)\) à l'aide de l'équation de la tangente \(T_4\).

Exercice 4 : Dérivation et étude de variations (3 points)

Cet exercice se concentre sur la maîtrise des techniques de dérivation avec la fonction exponentielle.

• Fonction 1 : On étudie \(g(x) = (1 - x)e^x\). La dérivation nécessite l'application de la formule du produit \((uv)'=u'v+uv'\). L'étude du signe de la dérivée \(g'(x) = -xe^x\) permet de dresser le tableau de variations et de trouver le maximum de la fonction.
• Fonction 2 : On étudie \(h(x) = e^{x^2-2x}\). Il s'agit ici de dériver une fonction composée de la forme \(e^u\), dont la dérivée est \(u'e^u\). De même, l'étude du signe de \(h'(x)\) permet de déterminer les variations et le minimum de \(h\).

Exercice 5 : Problème d'optimisation (1 point)

Un problème concret de maximisation de volume, qui est une application directe de l'étude de fonctions.

• Mise en équation : Il faut exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte (obtenue en découpant des carrés de côté \(x\) aux coins d'une feuille) en fonction de \(x\). On obtient une fonction polynomiale du troisième degré : \(V(x) = x(24-2x)^2\).
• Recherche du maximum : Pour déterminer le volume maximal, on étudie les variations de la fonction \(V(x)\) sur son intervalle de définition \(]0; 12[\). On calcule la dérivée \(V'(x)\), on cherche ses racines (qui annulent la dérivée) et on dresse le tableau de variation pour identifier la valeur de \(x\) qui maximise le volume.
• Conclusion : On compare le volume maximal calculé à la valeur de 1,1 litre (1100 cm³) pour répondre à la question posée.