Sujet de Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Première Spécialité

Découvrez ce sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Première spécialité, portant sur les chapitres des automatismes, des polynômes du second degré, et des généralités sur les suites. Ce sujet de 2 heures, conçu pour être traité sans calculatrice, est une excellente ressource pour s'entraîner et évaluer sa maîtrise des concepts clés du programme. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à comprendre les compétences attendues et les méthodes de résolution. C'est un outil précieux pour la préparation de vos examens et l'approfondissement de vos connaissances en maths.

Première partie : Automatismes (6 points)

Cette première partie est un QCM de compétences fondamentales pour bien démarrer l'épreuve.

• Question 1 : Résolution d'une inéquation simple du premier degré de la forme \(-\frac{1}{3}x + 4 \le 0\).
• Question 2 : Maîtrise des calculs de base avec des fractions pour évaluer l'expression \(E = \frac{a-b}{c+d}\).
• Question 3 : Développement et réduction d'une expression polynomiale, \(f(x) = (3x - 2)^2 – 2(x - 5)(2x – 1)\), en utilisant les identités remarquables et la double distributivité.
• Question 4 : Manipulation d'expressions littérales pour isoler une variable dans une formule d'optique, \(\frac{1}{p'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p}\).
• Question 5 : Factorisation d'une expression \(g(x) = (4x − 1)² – (5x + 2)²\) en reconnaissant une différence de deux carrés.
• Question 6 : Calcul de la différence \(u_{n+1} - u_n\) pour une suite définie de manière explicite, \(u_n = \frac{1}{2n-3}\), première étape vers l'étude de son sens de variation.

Deuxième partie : Exercices d'analyse (14 points)

Exercice 1 : Étude d'une suite récurrente (2,5 points)

Cet exercice se concentre sur une suite \((u_n)\) définie par récurrence par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 3n + 1\).

• La première question est un calcul simple des premiers termes \(u_1\) et \(u_2\) pour s'familiariser avec la suite.
• Les questions suivantes testent la capacité à manipuler les indices et la relation de récurrence en demandant d'exprimer \(u_{n+2}\) en fonction de \(u_{n+1}\) et \(n\), puis en fonction de \(u_n\) et \(n\).

Exercice 2 : Position relative de deux courbes (3,5 points)

L'objectif est d'étudier la position relative des courbes des fonctions \(f(x) = 2x^3 – 4x^2 - 3x + 2\) et \(g(x) = -x² + x - 3\) en analysant le signe de leur différence \(h(x) = f(x) - g(x)\).

• Après avoir établi l'expression de \(h(x) = 2x^3 – 3x^2 - 4x + 5\), il faut montrer que 1 est une racine évidente.
• Cette racine permet de factoriser le polynôme de degré 3 sous la forme \((x – 1)(ax² + bx + c)\), où les réels a, b, et c sont à déterminer.
• L'étude se conclut par le dressage du tableau de signes de \(h(x)\), nécessitant l'analyse du signe du trinôme du second degré, pour finalement déterminer les intervalles où une courbe est au-dessus de l'autre.

Exercice 3 : Polynôme du second degré avec paramètre (5 points)

Cet exercice propose une étude approfondie d'un polynôme du second degré dépendant d'un paramètre \(m\) : \(f(x) = x² + (m + 1)x + 2m – 1\).

• Partie A : On étudie le cas particulier \(m=2\). Il faut trouver la forme canonique du polynôme, résoudre l'équation \(f(x)=0\) et une inéquation associée.
• Partie B : Dans le cas général, on cherche les valeurs de \(m\) pour que les racines soient de signes opposés en utilisant la relation sur le produit des racines (\(P = c/a\)). Puis, on discute du nombre de solutions de \(f(x)=0\) en étudiant le signe du discriminant \(\Delta\) en fonction de \(m\).

Exercice 4 : Problème de modélisation (3 points)

Ce dernier exercice est un problème concret d'optimisation d'aire qui mène à la résolution d'une inéquation du second degré. Il s'agit de trouver les dimensions possibles pour un chemin, tout en respectant une contrainte sur l'aire de la surface restante.

• La mise en équation du problème aboutit à l'inéquation \(x² - 42x + 80 \ge 0\).
• La résolution de cette inéquation, en s'aidant d'une table de carrés fournie pour le discriminant, permet de trouver les largeurs \(x\) possibles pour le chemin.