Découvrez notre contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Première spécialité (Sujet 35), axé sur deux chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré et les probabilités conditionnelles. Ce sujet d'une heure, avec calculatrice autorisée, est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts clés à travers une série d'exercices variés, allant du QCM d'application directe à la résolution de problèmes concrets. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Exercice 1 : Questions à Choix Multiples (QCM)

Ce premier exercice teste les connaissances de base et la rapidité d'analyse sur les deux chapitres.

• Question 1 : Il s'agit d'une question d'analyse graphique. Il faut associer la représentation d'une parabole avec le signe de son discriminant \(\Delta\). Cette question évalue la capacité à lier le nombre de racines (points d'intersection avec l'axe des abscisses) et l'orientation de la parabole au signe de \(\Delta\).
• Question 2 : On demande de trouver la somme \(S\) et le produit \(P\) des racines de l'équation \(x^2 - 2x - 8 = 0\). C'est une application directe des formules \(S = -b/a\) et \(P = c/a\), un savoir-faire essentiel sur les fonctions trinômes.
• Question 3 : Il faut résoudre l'inéquation du second degré \(x^2 + x + 2 > 0\). La méthode consiste à calculer le discriminant, constater qu'il est négatif, et en déduire le signe constant du polynôme (ici, toujours positif), pour conclure sur l'ensemble des solutions.
• Question 4 : Une question de probabilités qui demande de manipuler la formule de l'union : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Il faut utiliser les données \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cup B)\) pour évaluer différentes propositions, notamment sur l'indépendance des événements.
• Question 5 : À partir d'un arbre de probabilités incomplet, il faut utiliser la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité de l'événement \(B\), ce qui permet ensuite de trouver la valeur manquante \(p\).

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles dans un Contexte Réel

Cet exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles modélisé par un arbre pondéré. Dans une école d'ingénieurs, on étudie la répartition des étudiants (cycle licence ou spécialisation) et leur appartenance au bureau des sports (BDS).

• Question 1 : La première étape est de traduire les données de l'énoncé pour construire et compléter un arbre pondéré, représentant la situation.
• Question 2 : On calcule la probabilité qu'un étudiant soit en licence ET membre du BDS, c'est-à-dire \(P(L \cap B)\), en utilisant une branche de l'arbre.
• Question 3 : Il faut démontrer que \(P(B) = 0,092\) en appliquant la formule des probabilités totales : \(P(B) = P(L \cap B) + P(\bar{L} \cap B)\).
• Question 4 : Une question clé qui demande de calculer \(P_B(L)\), la probabilité qu'un étudiant soit en licence sachant qu'il est membre du BDS. Cela nécessite d'inverser l'arbre de probabilité ou d'appliquer la définition \(P_B(L) = P(L \cap B) / P(B)\). L'interprétation du résultat est également demandée.
• Question 5 : La dernière question consiste à vérifier si les événements L et B sont indépendants. Pour cela, on compare \(P(L \cap B)\) avec le produit \(P(L) \times P(B)\).

Exercice 3 : Problème de Modélisation Géométrique

Cet exercice propose de mettre en équation un problème concret de géométrie. On souhaite aménager une allée en forme de croix dans un jardin rectangulaire et on impose des conditions sur son aire.

• Question 1 & 2 : La principale difficulté est de modéliser la situation. Il faut exprimer l'aire de l'allée en fonction de sa largeur \(x\), puis traduire la contrainte ("l'aire de l'allée est inférieure ou égale à l'aire restante") par une inéquation du second degré : \(-2x^2 + 28x - 48 \le 0\).
• Question 3 & 4 : Une fois l'inéquation posée, il faut la résoudre de manière classique : calcul du discriminant, recherche des racines, et étude du signe du trinôme. La conclusion doit tenir compte du domaine de définition de \(x\) établi dans la première question.

Exercice 4 : Étude de la Trajectoire d'un Ballon

Ce problème analyse le mouvement d'un ballon de volley-ball, dont la trajectoire est une parabole décrite par une fonction polynomiale du second degré \(h(t) = -0,525t^2 + 2,1t + 2,625\).

• Question 1 : On demande de déterminer la hauteur maximale atteinte par le ballon. Cela correspond à trouver le maximum de la fonction, c'est-à-dire l'ordonnée du sommet de la parabole, calculée en \(t = -b/(2a)\).
• Question 2 : Il faut ensuite calculer le temps au bout duquel le ballon retombe au sol. Cela revient à résoudre l'équation du second degré \(h(t) = 0\), dont la solution positive donnera le temps recherché.

Exercice 5 (Bonus) : Équation du Second Degré avec Paramètre

Pour les plus rapides, cet exercice bonus aborde les équations paramétriques. Il faut trouver les valeurs du réel non nul \(m\) pour que l'équation \(mx^2 + (m-1)x - 1 = 0\) admette une unique solution. La condition est que le discriminant \(\Delta\) soit égal à zéro. Le calcul de \(\Delta\) donne une nouvelle équation du second degré en \(m\), qu'il faut résoudre pour trouver les valeurs de \(m\) solutions.