Contrôle Corrigé de Mathématiques : Première Spécialité

Ce sujet de contrôle pour la classe de Première spécialité mathématiques est une excellente ressource pour réviser trois chapitres fondamentaux du programme : la géométrie repérée, la trigonométrie et les polynômes du second degré. Le sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts clés et la capacité à les appliquer dans des contextes variés. Découvrez ci-dessous une analyse détaillée et le corrigé de chaque exercice de ce sujet de maths.

Exercice 1 : Vrai ou Faux en Géométrie Repérée (4,5 points)

Cet exercice teste les connaissances de base en géométrie analytique à travers trois affirmations à justifier. Il s'agit d'appliquer les définitions et propriétés des vecteurs et des droites dans le plan.

• Question 1 : On étudie la colinéarité de deux vecteurs \(\vec{u}\binom{-1}{m+1}\) et \(\vec{v}\binom{2m}{-1}\) en fonction d'un paramètre réel \(m\). La justification passe par la condition de colinéarité \(xy' - x'y = 0\). Cela mène à la résolution d'une équation du second degré en \(m\) pour déterminer si une telle valeur de \(m\) existe.
• Question 2 : Il faut vérifier si une équation cartésienne donnée, \(2x + 5y - 11 = 0\), est bien celle de la droite \((AB)\) passant par les points \(A(-2; 3)\) et \(B(3; 1)\). La méthode consiste soit à calculer le vecteur directeur \(\vec{AB}\) et à en déduire une équation, soit à vérifier si les coordonnées des points \(A\) et \(B\) satisfont l'équation.
• Question 3 : Cette question porte sur les médianes d'un triangle. Pour le triangle \(ABC\) avec \(A(-2; 5)\), \(B(0; -7)\) et \(C(2; 1)\), on doit déterminer si la médiane issue de \(B\) coïncide avec l'axe des ordonnées. Il faut donc calculer les coordonnées du milieu du segment \([AC]\) puis trouver l'équation de la droite passant par ce milieu et le point \(B\).

Exercice 2 : Trigonométrie et Cercle Unitaire (4,5 points)

L'exercice 2 est centré sur le cercle trigonométrique, un outil essentiel en trigonométrie. Il évalue la capacité à manipuler les mesures d'angles et à identifier leurs points images.

• Question 1 : La première partie demande de localiser sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux angles \(\frac{4\pi}{3}\), \(\frac{13\pi}{2}\) et \(-\frac{\pi}{6}\). Pour chaque angle, il faut ensuite trouver la mesure équivalente dans l'intervalle \([0; 2\pi]\), ce qui revient à trouver la mesure principale ou une mesure coterminale positive.
• Question 2 : La seconde partie demande de vérifier si des paires de nombres réels, comme \(\frac{125\pi}{4}\) et \(\frac{35\pi}{4}\), sont associées au même point sur le cercle. La justification repose sur la propriété suivante : deux angles \(\alpha\) et \(\beta\) ont le même point image si et seulement si leur différence est un multiple entier de \(2\pi\), c'est-à-dire \(\alpha - \beta = 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).

Exercice 3 : Inéquation et Position Relative de Courbes (4 points)

Cet exercice fait le lien entre l'étude des polynômes du second degré et leur interprétation graphique. Il s'agit de résoudre une inéquation puis d'en déduire une information sur les courbes représentatives de deux fonctions.

• Question 1 : Il faut résoudre l'inéquation \(2x^2 – 3x + 1 > -x^2 + 2x – 1\). La première étape est de tout regrouper d'un seul côté pour obtenir une inéquation de la forme \(P(x) > 0\), où \(P(x)\) est un polynôme du second degré. On étudie alors le signe de \(P(x)\) en calculant son discriminant \(\Delta\) et ses racines, puis en dressant un tableau de signes.
• Question 2 : La résolution de l'inéquation précédente permet de déterminer la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) des fonctions \(f(x) = 2x^2 – 3x + 1\) et \(g(x) = -x^2 + 2x – 1\). En effet, étudier le signe de \(f(x) - g(x)\) revient à résoudre l'inéquation de la première question. Là où \(f(x) - g(x) > 0\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\).

Exercice 4 : Problème de Modélisation (3,5 points)

Ce problème concret demande de traduire un énoncé en une équation mathématique. C'est un exercice classique d'application des polynômes du second degré à une situation géométrique.

Un terrain rectangulaire doit être modifié tout en conservant son périmètre. Ses dimensions initiales sont \(4 \times 7\) dam. L'aire doit passer à \(24\) dam\(^2\). Pour cela, on ajoute une mesure \(x\) à une dimension et on la retire à l'autre. Le problème se modélise par une équation du second degré, par exemple \((4+x)(7-x) = 24\). La résolution de cette équation donne la ou les valeurs possibles pour cette mesure \(x\).

Exercice 5 : Équation du Second Degré avec Paramètre (3,5 points)

Le dernier exercice est un problème plus théorique qui introduit un paramètre \(m\) dans une équation du second degré. L'objectif est d'analyser l'existence de solutions en fonction de ce paramètre.

L'équation est \(x^2 + 2(m + 2)x + 6 - 2m^2 - m = 0\). Pour qu'elle admette deux solutions réelles distinctes, son discriminant \(\Delta\) doit être strictement positif. Le calcul du discriminant donne une expression qui est elle-même un polynôme du second degré en \(m\). Il faut donc résoudre l'inéquation \(\Delta > 0\), ce qui implique d'étudier le signe d'un trinôme en \(m\). C'est un excellent exercice pour maîtriser l'analyse des équations paramétriques.