2. Calculer les premiers termes d'une suite

Introduction

On va calculer des termes de suites. Je vous donne cinq suites et on va calculer le premier, le deuxième et le quatrième terme.

Calcul des termes de la première suite

On commence avec \(n = 3n^2\). Cette suite est définie de manière explicite. Pour calculer \(u_1\), je vais remplacer le \(n\) qui est ici par 1, donc j'écris \(u_1 = 3 \times 1^2 = 3\). Pour calculer \(u_2\), je vais remplacer le \(n\) qui est ici par 2, donc ça va faire \(u_2 = 3 \times 2^2 = 12\). Pour calculer le quatrième terme, je vais remplacer le \(n\) qui est ici par 4, donc ça fait \(u_4 = 3 \times 4^2 = 48\).

Calcul des termes de la deuxième suite

Pour la deuxième suite, \(v_n = n - 20\), pour calculer le premier terme, je prends \(n\) que j'ai remplacé par 1 ici, je remplace par 1 ici, donc \(v_1 = 1 - 20 = -19\). Le deuxième terme, je remplace \(n\) par 2, donc \(v_2 = 2 - 20 = -18\). Pour le quatrième terme, je remplace \(n\) par 4, donc \(v_4 = 4 - 20 = -16\).

Calcul des termes de la troisième suite

Pour la troisième suite, \(w_{n+1} = 2w_n - 5\), c'est une suite qui est définie de manière récurrente. Pour calculer \(w_1\), je prends le terme précédent \(w_0\) et j'enlève 5, donc \(w_1 = 2w_0 - 5 = -7\). Pour avoir \(w_2\), je vais prendre le terme précédent \(w_1 = -7\) et je vais enlever 5, donc \(w_2 = 2(-7) - 5 = -19\). Pour calculer \(w_4\), il va d'abord falloir calculer \(w_3\), donc \(w_3 = 2w_2 - 5 = -43\), et seulement après avoir calculé \(w_3\), on peut calculer \(w_4 = 2w_3 - 5 = -91\).

Calcul des termes de la quatrième suite

Pour la quatrième suite, \(t_{n+1} = \frac{1}{2}t_n - 1\), c'est une suite définie de manière récurrente. Pour avoir le deuxième terme, j'ai remplacé le \(n\) ici par 2, donc ça fait \(t_2 = \frac{1}{2}t_1 - 1\). Pour avoir le quatrième terme, il faut le troisième, donc \(t_3 = \frac{1}{2}t_2 - 1\), et enfin \(t_4 = \frac{1}{2}t_3 - 1\).

Calcul des termes de la cinquième suite

Pour la cinquième suite, \(k_{n+1} = 2n + k_n\), c'est un compromis étrange entre du récurrent et de l'explicite. Pour calculer \(k_1\), j'ai écrit \(k_1 = 2 \times 0 + k_0 = 0 + k_0 = k_0\). Pour avoir \(k_2\), ça fait \(k_2 = 2 \times 1 + k_1 = 2 + k_1 = 7\). Pour calculer le quatrième terme, on continue de la même manière jusqu'à ce qu'on arrive au terme numéro 4. Entraînez-vous avec ces exemples. Si vous réussissez, vous pouvez passer à la compétence suivante. Si vous ne réussissez pas, ce n'est pas grave, vous aurez de nombreuses autres occasions de vous exercer.