Ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Seconde, portant sur les chapitres des fonctions de référence et des vecteurs, est un excellent outil de révision. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue des compétences fondamentales du programme. Ce corrigé détaillé vous permettra de comprendre chaque étape des raisonnements.

Exercice 1 : Manipulation de vecteurs

Cet exercice se concentre sur la maîtrise de la relation de Chasles et la simplification d'expressions vectorielles. Il est crucial pour consolider les bases de la géométrie vectorielle.

• Question a : Démontrer une égalité de vecteurs. Il faut prouver que \(\vec{MA} + \vec{MB} - 2\vec{MC} = \vec{CA} + \vec{CB}\) en utilisant astucieusement la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs par rapport à un point judicieusement choisi.
• Question b : Compléter une égalité. Un exercice classique pour vérifier la bonne application de la relation de Chasles à travers une expression à trous : \(\vec{CD} = -\vec{D...} + \vec{K...} - ...\vec{C} + \vec{LM}\).
• Question c : Exprimer un vecteur en fonction de deux autres. Il s'agit de réécrire le vecteur \(\vec{v} = 3\vec{CB} + 2\vec{BA} + \vec{CA}\) en fonction des vecteurs \(\vec{CA}\) et \(\vec{BC}\), ce qui demande de décomposer \(\vec{BA}\).
• Question d : Simplifier une somme de vecteurs. L'objectif est de réduire l'expression \(\vec{u} = \vec{IH} + \vec{SU} + \vec{RS} + \vec{UH}\) en regroupant les vecteurs pour appliquer la relation de Chasles et obtenir le vecteur le plus simple possible.

Exercice 2 : Constructions vectorielles et milieu

Cet exercice aborde la construction de points à partir de définitions vectorielles et la démonstration de propriétés géométriques de base, comme la caractérisation du milieu d'un segment.

• Question 1 : Placer des points. On demande de construire les points D et E tels que \(\vec{BE} = \vec{AC}\) et \(\vec{DC} = \vec{AB}\). Cela revient à construire l'image de points par des translations.
• Question 2 : Démontrer que C est le milieu de [ED]. En utilisant les égalités vectorielles de la question précédente, il faut prouver que \(\vec{EC} = \vec{CD}\) ou \(\vec{EC} + \vec{CD} = \vec{0}\).

Exercice 3 : Alignement, colinéarité et parallélogramme

Cet exercice complet de géométrie vectorielle non repérée demande de mobiliser plusieurs compétences : construction, démonstration d'alignement, théorème des milieux et caractérisation d'un parallélogramme.

• Question 1 : Construction de points. Il faut placer les points M et N définis par \(\vec{BM} = 2\vec{AC}\) et \(\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{BC}\), ce qui implique la multiplication d'un vecteur par un scalaire.
• Question 2 : Démontrer que des points sont alignés. La tâche est de prouver que C, M et N sont alignés en montrant que les vecteurs \(\vec{CM}\) et \(\vec{CN}\) sont colinéaires.
• Question 3 : Appliquer le théorème des milieux. Soit I et J les milieux de [AB] et [AC], il faut démontrer la relation vectorielle bien connue \(\vec{BC} = 2\vec{IJ}\).
• Question 4 : Reconnaître un parallélogramme. La dernière question consiste à prouver que le quadrilatère ANJI est un parallélogramme, en montrant une égalité de vecteurs, par exemple \(\vec{AN} = \vec{IJ}\).

Exercice 4 : Fonctions de référence

Ce dernier exercice balaye les propriétés des fonctions de référence : carré, cube, racine carrée et inverse. Il s'agit de résoudre des équations, des inéquations et de trouver des encadrements.

• Question 1 : Encadrement avec la fonction carré. Sachant que \(b \in [-3; 4]\), il faut déterminer l'intervalle d'appartenance de \(b^2\), en faisant attention au fait que la fonction carré n'est pas monotone sur cet intervalle.
• Question 2 : Résolution d'inéquations. Trouver les entiers relatifs \(c\) vérifiant simultanément \(c^2 < 15\) et \(\frac{1}{c} < 0\).
• Question 3 : Utilisation de la fonction cube. Déterminer l'ensemble des réels \(a\) pour lesquels \(a^3 \in [-8; 27]\).
• Question 4 : Encadrement avec la fonction racine carrée. Donner le meilleur encadrement de \(\sqrt{x}\) pour \(9 \leq x \leq 900\).
• Question 5 : Compléter des encadrements. Appliquer les propriétés de croissance de la fonction racine carrée et de décroissance de la fonction inverse pour compléter des inégalités.
• Question 6 : Vrai ou Faux. Justifier si un point appartient à la courbe de la fonction inverse et si une fonction peut s'annuler, ce qui revient à résoudre l'équation \(x^2+12 = 0\).