Découvrez notre contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Seconde, un sujet complet et détaillé pour vous aider à maîtriser les chapitres clés du programme. Ce sujet de 1h30, avec calculatrice autorisée, aborde les calculs numériques et littéraux, la géométrie vectorielle, et l'étude de fonctions. C'est un excellent outil de révision pour préparer vos évaluations et consolider vos acquis. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences spécifiques, de la manipulation algébrique à la résolution de problèmes concrets.

Exercice 1 : Maîtrise des calculs numériques et littéraux

Cet exercice de 4 points vise à vérifier les bases du calcul algébrique, un socle fondamental en mathématiques. Il est divisé en quatre questions indépendantes.

• Question 1 : Il s'agit de calculer et simplifier deux expressions avec des racines carrées :
  • \(A = 3\sqrt{112} - 2\sqrt{7} + 5\sqrt{28}\). Pour résoudre cela, il faut décomposer les nombres sous les racines en produits de facteurs premiers pour extraire les carrés parfaits (ex: \( \sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7} \)).
  • \(B = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Cette question teste la manipulation des fractions et des racines, notamment la mise au même dénominateur.
• Question 2 : On demande de développer puis réduire l'expression \(C = \left(\frac{3}{7} + 2x\right)\left(7x - \frac{1}{3}\right)\). C'est une application directe de la double distributivité.
• Question 3 : La factorisation est à l'honneur avec l'expression \(D = (x+1)(1-2x) + (x+1)^2\). L'objectif est de reconnaître le facteur commun \((x+1)\) pour simplifier l'expression.
• Question 4 : Une question de raisonnement qui demande de démontrer que l'égalité \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) est fausse. Il suffit de trouver un contre-exemple simple (par exemple, avec \(a=1\) et \(b=1\)) pour invalider cette proposition générale.

Exercice 2 : Géométrie vectorielle et constructions

Noté sur 3 points, cet exercice se concentre sur la construction de points définis par des relations vectorielles et la déduction de propriétés géométriques.

• Question 1 : La construction du point \(F\), image de \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{BA}\), permet d'introduire la notion de translation et son équivalence vectorielle. On en déduit l'égalité \(\vec{CF} = \vec{BA}\).
• Question 2 : On construit le point \(G\), symétrique de \(B\) par rapport à \(A\). Cela signifie que \(A\) est le milieu du segment \([GB]\), ce qui se traduit par l'égalité vectorielle \(\vec{GA} = \vec{AB}\).
• Question 3 : La question finale consiste à déterminer la nature du quadrilatère \(GACF\). En combinant les résultats précédents (\(\vec{GA} = \vec{AB}\) et \(\vec{CF} = \vec{BA}\)), on montre que \(\vec{GA} = -\vec{CF}\) ou \(\vec{GA} = \vec{FC}\). Cette égalité de vecteurs est la condition caractéristique d'un parallélogramme. Il faut donc justifier que \(GACF\) est un parallélogramme.

Exercice 3 : Application avancée des vecteurs et de la colinéarité

Cet exercice, le plus dense en géométrie vectorielle (5 points), met en œuvre la relation de Chasles et la notion de colinéarité pour démontrer un alignement de points.

• Question 1 : Il s'agit de construire les points \(D\) et \(E\) à partir des relations vectorielles \(\vec{AD} = 2\vec{AB} + \vec{AC}\) et \(\vec{BE} = \frac{1}{3}\vec{BC}\). Cela demande de savoir additionner des vecteurs et les multiplier par un scalaire.
• Question 2 : Le cœur de l'exercice réside dans l'utilisation de la relation de Chasles pour démontrer que \(\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\). Le calcul part de \(\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}\) et nécessite de décomposer \(\vec{BC}\) en \(\vec{BA} + \vec{AC}\) pour aboutir au résultat.
• Question 3 : La conclusion de l'exercice est de démontrer que les points \(A\), \(D\) et \(E\) sont alignés. Pour ce faire, on doit prouver que les vecteurs \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) sont colinéaires. En comparant leurs expressions en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), on trouve que \(\vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{AD}\), ce qui prouve la colinéarité et donc l'alignement.

Exercice 4 : Étude d'une fonction dans un contexte géométrique

Ce dernier exercice de 8 points est un problème complet d'étude de fonction. Il s'agit de modéliser une situation concrète (l'aire d'un panneau publicitaire) par une fonction, puis d'analyser cette fonction.

• Question 1 : La première étape est un travail de modélisation. Il faut montrer que l'aire du panneau, notée \(f(x)\), est donnée par l'expression \(f(x) = 4x^2 - 6x + 4\) pour \(x \in [0; 1]\).
• Question 2 : Une question pratique d'utilisation de la fonction. On doit compléter un tableau de valeurs de \(f(x)\) pour différentes valeurs de \(x\), en utilisant la calculatrice.
• Question 3 : On cherche la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire du panneau est de 3 m². Cette question teste la capacité à trouver des antécédents :
  • a. Par une lecture graphique d'une valeur approchée.
  • b. En utilisant la calculatrice pour trouver une valeur approchée plus précise (au millième).
• Question 4 : Enfin, on résout graphiquement ou à l'aide de la calculatrice l'inéquation \(f(x) < 1.84\), ce qui correspond à trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'aire du panneau est inférieure à 1.84 m². Cela revient à déterminer sur quel intervalle la courbe \(C_f\) est située en dessous de la droite d'équation \(y=1.84\).