Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Première STI2D : Sujet Complet

Découvrez une analyse détaillée et un corrigé pas à pas de ce devoir commun de mathématiques pour le niveau Première STI2D. Ce sujet, d'une durée de 2 heures et sans calculatrice, est une excellente ressource pour réviser et s'entraîner sur des chapitres fondamentaux du programme : les automatismes, la trigonométrie, le produit scalaire, et les nombres complexes. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant consolider leurs bases et se préparer efficacement aux évaluations.

Partie A : Automatismes (QCM)

Cette première partie est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) de 6 points, conçu pour évaluer la maîtrise des savoir-faire de base sur plusieurs chapitres. Chaque question teste une compétence précise :

• Question 1 : Conversion d'un angle de degrés en radians. Il s'agit de convertir \(225^{\circ}\) en utilisant la relation de proportionnalité. La bonne réponse est \(\frac{5\pi}{4}\).
• Question 2 : Calcul de la valeur exacte d'un cosinus. Il faut trouver \(\cos(\frac{2\pi}{3})\) en se repérant sur le cercle trigonométrique. La valeur est \(-\frac{1}{2}\).
• Question 3 : Calcul d'un produit scalaire dans le plan. Pour les vecteurs \(\vec{u}(2, -5)\) et \(\vec{v}(3, 1)\), le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est calculé par la formule \(xx' + yy'\), soit \((2)(3) + (-5)(1) = 1\).
• Question 4 : Calcul du module d'un nombre complexe. Pour \(z = 5 - 12i\), le module \(|z|\) est \(\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
• Question 5 : Détermination du conjugué d'un nombre complexe. Le conjugué de \(z = 4 - 3i\) est \(\bar{z} = 4 + 3i\).
• Question 6 : Produit de deux nombres complexes. Le calcul de \((2+i)(2-i)\) utilise l'identité \(z\bar{z} = a^2+b^2\), ce qui donne \(2^2+1^2=5\).

Partie B, Exercice 1 : La marée dans un port

Cet exercice de 5 points porte sur l'étude d'une fonction trigonométrique modélisant la hauteur de l'eau : \(h(t) = 3 + 2 \cos(\frac{\pi t}{6})\) pour \(t \in [0; 12]\).

• Question 1 : Il est demandé de trouver l'amplitude (qui est 2) et la période de la fonction. La période \(T\) se calcule avec la formule \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12\) heures.
• Question 2 : Calcul des valeurs exactes de la hauteur à des instants précis : \(h(0)\), \(h(3)\) et \(h(6)\), nécessitant la connaissance des valeurs remarquables de cosinus.
• Question 3 : Étude des variations de la hauteur d'eau. Comme \(-1 \leq \cos(X) \leq 1\), la hauteur varie entre \(3+2(-1)=1\) mètre et \(3+2(1)=5\) mètres. Les instants de maximum et minimum sont à déterminer.
• Question 4 : Résolution de l'équation trigonométrique \(h(t) = 4\) sur l'intervalle \([0; 12]\). Cela revient à résoudre \(\cos(\frac{\pi t}{6}) = \frac{1}{2}\).
• Question 5 : Application concrète avec la résolution de l'inéquation \(h(t) > 4\) pour déterminer la plage de temps durant laquelle un navire peut entrer au port.

Partie B, Exercice 2 : Angles d'un triangle

Cet exercice de géométrie analytique de 4 points utilise le produit scalaire pour étudier les propriétés d'un triangle \(ABC\) avec les points \(A(1; -2)\), \(B(5; 1)\) et \(C(2; 3)\).

• Question 1 : Détermination des coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) par la formule \((x_B-x_A, y_B-y_A)\).
• Question 2 : Calcul du produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) à partir de leurs coordonnées.
• Question 3 : Calcul des longueurs \(AB\) et \(AC\), qui sont les normes des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
• Question 4 : Utilisation des deux formes du produit scalaire pour trouver la valeur exacte de \(\cos(\widehat{BAC})\) et déterminer si l'angle est aigu ou obtus en se basant sur le signe du produit scalaire.
• Question 5 : Justification de la nature du triangle \(ABC\) (est-il rectangle en A ?). Il suffit de vérifier si le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) est nul.

Partie B, Exercice 3 : Dans le plan complexe

Ce dernier exercice de 5 points est une application des nombres complexes à la géométrie, avec les points d'affixes \(z_A = 2+i\), \(z_B = 5+2i\) et \(z_C = 1+4i\).

• Question 1 : Placement des points dans le plan complexe.
• Question 2 : Calcul de l'affixe des vecteurs \(\vec{AB}\) (soit \(z_B - z_A\)) et \(\vec{AC}\) (soit \(z_C - z_A\)), puis de leurs longueurs respectives (modules de ces affixes).
• Question 3 : Le lien entre les coordonnées d'un vecteur et l'affixe de ce vecteur est utilisé pour calculer un produit scalaire et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
• Question 4 : Détermination de l'affixe du milieu \(I\) du segment \([BC]\) avec la formule \(z_I = \frac{z_B + z_C}{2}\).
• Question 5 : Conversion du nombre complexe \(z = -3 + 3i\sqrt{3}\) de sa forme algébrique à sa forme trigonométrique. Cela implique le calcul de son module \(|z|\) et d'un de ses arguments \(\theta\).